Question

如圖，BD，CE是△ABC的兩條高，F(xiàn)和G分別是DE和BC的中點，O是△ABC的外心．求證：AO∥FG．

Answer 1

考點：四點共圓

專題：證明題

分析：根據(jù)∠BDC=∠BEC=90°，可判斷出B，C，E，D四點共圓，然后利用同弧所對的圓周角相等且等于圓心角的一半可得出，∠DEB=∠DCB=

1

2

∠AOB，∠AEH=

1

2

∠AOB，結(jié)合OA=OB可判斷出OA⊥DE，繼而可得出結(jié)論．

解答：證明：如圖，連接GD和GE．
∵∠BDC=∠BEC=90°，BG=GC，
∴DG=

1

2

BC=EG，
又∵DF=EF，
∴GF⊥DE，
延長OA交DE于H．
∵∠BDC=∠BEC=90°
∴B，C，E，D四點共圓，∠DEB=∠DCB=

1

2

∠AOB，
即∠AEH=

1

2

∠AOB，
又∵OA=OB，
∴∠EAH=∠BAO=90°-

1

2

∠AOB，∠EAH+∠AEH=90°，
∴AD⊥DE，
即OA⊥DE
∴AO∥FG．

點評：此題考查了四點共圓的知識，涉及了直角三角形斜邊中線等于斜邊一半、等腰三角形的性質(zhì)及平行線的判定，綜合的知識點較多，注意融會貫通．