Question

直角三角形的三邊為a，b，c，其中c為斜邊，若

a+b+c

a+c

=

4

3

，直角三角形的面積為

3

2

，則c=

 

．

Answer 1

考點：三角形邊角關(guān)系

專題：

分析：由直角三角形的三邊為a，b，c，其中c為斜邊，直角三角形的面積為

3

2

，根據(jù)勾股定理與三角形面積的求解方法，可得

1

2

ab=

3

2

，a²+b²=c²，又由

a+b+c

a+c

=

4

3

，可得c=3b-a，將c=3b-a代入a²+b²=c²，即可求得b的值，繼而可求得a與c．

解答：解：∵直角三角形的三邊為a，b，c，其中c為斜邊，直角三角形的面積為

3

2

，
∴

1

2

ab=

3

2

，
∴ab=3，
∵

a+b+c

a+c

=

4

3

，
∴3a+3b+3c=4a+4c，
即a+c=3b，
∴c=3b-a，
∵直角三角形的三邊為a，b，c，其中c為斜邊，
∴a²+b²=c²，
∴a²+b²=（3b-a）²，
即a²+b²=9b²-6ab+a²，
∴8b²=6ab=18，
∴b=

3

2

，
∴a=2，
則c=

a2+b2

=

5

2

．
故答案為：

5

2

．

點評：此題考查了勾股定理、三角形面積的求解方法以及方程組的求解方法．此題難度較大，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意得到：

1

2

ab=

3

2

，a²+b²=c²，由

a+b+c

a+c

=

4

3

，得c=3b-a，然后將c=3b-a代入a²+b²=c²求得b的值．