Question

已知二次函數(shù)y=ax²+bx+c，當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)有最大值4，且|a|=1．
（1）求它的解析式；
（2）若上述函數(shù)的圖象與x軸交點(diǎn)為A、B，其頂點(diǎn)為C．求直線AC的方程；
（3）求三角形ABC的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線與x軸的交點(diǎn),待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式

專題：

分析：（1）由最大值可知a=1，又可知其頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，4），可寫出其頂點(diǎn)式方程，可得到其解析式；
（2）可先求得A、B、C的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求直線AC的方程；
（3）根據(jù)（2）可求得AB，且頂點(diǎn)到x軸的距離為4，利用三角形的面積公式可求得△ABC的面積．

解答：解：（1）∵有最大值，且|a|=1，
∴a=-1，
又∵當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)有最大值，
∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，4），
∴y=-（x-1）²+4，即y=-x²+2x+3；
（2）令y=0可得-（x-1）²+4=0，解得x=3或x=-1，
∴A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)為（-1，0）、（3，0），
且頂點(diǎn)坐標(biāo)為C（1，4），
設(shè)直線AC為y=kx+b，
當(dāng)A為（-1，0）時(shí)，代入可得

-k+b=0 k+b=4

，解得

k=2 b=2

，此時(shí)直線AC解析式為y=2x+2；
當(dāng)A為（3，0）時(shí)，代入可得

3k+b=0 k+b=4

，解得

k=-2 b=6

，此時(shí)直線AC解析式為y=-2x+6；
綜上可知直線AC的解析式為y=2x+2或y=-2x+6；
（3）由（2）可知AB=|3-（-1）|=4，且C到x軸的距離為4，
則S_△ABC=

1

2

×4×4=8．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查待定系數(shù)法求函數(shù)解析式及二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式的關(guān)鍵是求得點(diǎn)的坐標(biāo)，注意方程思想的應(yīng)用．