Question

在平面直角坐標(biāo)系xoy中，拋物線y=mx²-2mx-2（m≠0）與y軸交于點(diǎn)A，其對稱軸與x軸交于點(diǎn)B．
（Ⅰ）求點(diǎn)A，B的坐標(biāo)；
（Ⅱ）若直線l與直線AB關(guān)于該拋物線的對稱軸對稱，該拋物線在-2＜x＜-1這一段位于直線l的上方，并且在2＜x＜3這一段位于直線AB的下方，求該拋物線的解析式；
（Ⅲ）點(diǎn)P（m，n）是直線l上的動點(diǎn)，設(shè)m=

2

3

-a（a＞0），如果在兩個實數(shù)m與n之間（不包括m和n）有且只有一個整數(shù)，求實數(shù)a是取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（I）令x=0求出y的值，即可得到點(diǎn)A的坐標(biāo)，求出對稱軸解析式，即可得到點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（II）求出點(diǎn)A關(guān)于對稱軸的對稱點(diǎn)（2，-2），然后設(shè)直線l的解析式為y=kx+b（k≠0），利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，再根據(jù)二次函數(shù)的對稱性判斷在2＜x＜3這一段與在-1＜x＜0這一段關(guān)于對稱軸對稱，然后判斷出拋物線與直線l的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-1，代入直線l求出交點(diǎn)坐標(biāo)，然后代入拋物線求出m的值即可得到拋物線解析式；
（III）由（II）可知y=-2x+2，又因為m=

2

3

-a（a＞0），所以P點(diǎn)的坐標(biāo)可用含a的代數(shù)式表示為（

2

3

-a，

2

3

+2a），若在兩個實數(shù)m與n之間（不包括m和n）有且只有一個整數(shù)，則可求出m的取值范圍，進(jìn)而可求出a的取值范圍．

解答：解：（1）當(dāng)x=0時，y=-2，
∴A（0，-2），
拋物線的對稱軸為直線x=-

-2m

2m

=1，
∴B（1，0）；

（2）易得A點(diǎn)關(guān)于對稱軸直線x=1的對稱點(diǎn)A′（2，-2），
則直線l經(jīng)過A′、B，
設(shè)直線l的解析式為y=kx+b（k≠0），
則

2k+b=-2 k+b=0

，
解得：

k=-2 b=2

，
∴直線l的解析式為y=-2x+2；
∵拋物線的對稱軸為直線x=1，
∴拋物線在2＜x＜3這一段與在-1＜x＜0這一段關(guān)于對稱軸對稱，
結(jié)合圖象可以觀察到拋物線在-2＜x＜-1這一段位于直線l的上方，在-1＜x＜0這一段位于直線l的下方，
∴拋物線與直線l的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-1，
當(dāng)x=-1時，y=-2×（-1）+2=4，
所以，拋物線過點(diǎn)（-1，4），
當(dāng)x=-1時，m+2m-2=4，
解得m=2，
∴拋物線的解析式為y=2x²-4x-2；
（III）∵y=-2x+2，點(diǎn)P在直線上，
∴P點(diǎn)的坐標(biāo)可用含a的代數(shù)式表示為（

2

3

-a，

2

3

+2a），
∵a＞0，
∴m＜

2

3

＜a，
若在兩個實數(shù)m與n之間（不包括m和n）有且只有一個整數(shù)，則

0≤m＜ 2 3 1＜a≤2

或

-1≤m＜0 2 3 ＜a≤1

，
解得：

1

6

＜a＜

2

3

．

點(diǎn)評：本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，一次函數(shù)圖象與幾何變換，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，第（II）小題較難，根據(jù)二次函數(shù)的對稱性求出拋物線經(jīng)過的點(diǎn)（-1，4）是解題的關(guān)鍵．