【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠A=90°,點D、E分別在AC、BC上,且CDBC=ACCE,以E為圓心,DE長為半徑作圓,⊙E經(jīng)過點B,與AB、BC分別交于點F、G.
(1)求證:AC是⊙E的切線.
(2)若AF=4,CG=5,求⊙E的半徑;
(3)若Rt△ABC的內(nèi)切圓圓心為I,則IE=

【答案】
(1)證明:∵CDBC=ACCE,

,

∵∠DCE=∠ACB,

∴△CDE∽△CAB,

∴∠EDC=∠A=90°,

∴ED⊥AC,

∵點D在⊙E上,

∴AC是⊙E的切線


(2)①如圖1,

過E作EH⊥AB于H,

∴BH=FH,

∵∠A=∠AHE=∠ADE=90°,

∴四邊形AHED是矩形,

∴ED=AH,ED∥AB,

∴∠B=∠DEC,

設(shè)⊙E的半徑為r,則EB=ED=EG=r,

∴BH=FH=AH﹣AF=DE﹣AF=r﹣4,

EC=EG+CG=r+5,

在△BHE和△EDC中,

∵∠B=∠DEC,∠BHE=∠EDC=90°,

∴△BHE∽△EDC,

,即

∴r=20,

∴⊙E的半徑為20


(3)
【解析】如圖2
過I作IM⊥BC于M,過I作IH⊥AB于H,
由(2)得:FH=BH=r﹣4=20﹣4=16,AB=AF+2BH=4+2×16=36,
BC=2r+5=2×20+5=45,
∴AC= =27,
∵I是Rt△ABC的內(nèi)心,
∴IM= = =9,
∴AH=IM=9,
∴BH=BM=36﹣9=27,
∴EM=27﹣20=7,
在Rt△IME中,由勾股定理得:IE= = = ,
所以答案是:
【考點精析】本題主要考查了等腰直角三角形和三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心的相關(guān)知識點,需要掌握等腰直角三角形是兩條直角邊相等的直角三角形;等腰直角三角形的兩個底角相等且等于45°;三角形的內(nèi)切圓的圓心是三角形的三條內(nèi)角平分線的交點,它叫做三角形的內(nèi)心才能正確解答此題.

練習冊系列答案
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【題目】計算:(﹣3)2 +( 1

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【題目】快、慢兩車分別從相距180 km的甲、乙兩地同時出發(fā)沿同一路線勻速行駛,相向而行,快車到達乙地停留一段時間后,按原路原速返回甲地慢車到達甲地比快車到達甲地早 h,慢車速度是快車速度的一半快、慢兩車到達甲地后停止行駛,兩車距各自出發(fā)地的路程y(km)與所用時間x(h)的函數(shù)圖象如圖所示請結(jié)合圖象信息解答下列問題:

(1)請直接寫出快、慢兩車的速度;

(2)求快車返回過程中y(km)x(h)的函數(shù)關(guān)系式;

(3)兩車出發(fā)后經(jīng)過多長時間相距90 km的路程?直接寫出答案

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【題目】某商家用1200元購進了一批T恤,上市后很快售完,商家又用2800元購進了第二批這種T恤,所購數(shù)量是第一批購進量的2倍,但單價貴了5元.

(1)該商家購進的第一批T恤是多少件?

(2)若兩批T恤按相同的標價銷售,最后剩下20件按八折優(yōu)惠賣出,如果希望兩批T恤全部售完的利潤率不低于16%(不考慮其它因素),那么每件T恤的標價至少是多少元?

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【題目】某水果商從批發(fā)市場用8000元購進了大櫻桃和小櫻桃各200千克,大櫻桃的進價比小櫻桃的進價每千克多20元.大櫻桃售價為每千克40元,小櫻桃售價為每千克16元.

(1)大櫻桃和小櫻桃的進價分別是每千克多少元?銷售完后,該水果商共賺了多少元錢?

(2)該水果商第二次仍用8000元錢從批發(fā)市場購進了大櫻桃和小櫻桃各200千克,進價不變,但在運輸過程中小櫻桃損耗了20%.若小櫻桃的售價不變,要想讓第二次賺的錢不少于第一次所賺錢的90%,大櫻桃的售價最少應(yīng)為多少?

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【題目】我們已經(jīng)學習過反比例函數(shù)y= 的圖象和性質(zhì),請回顧研究它的過程,對函數(shù)y= 進行探索.下列結(jié)論:
①圖象在第一、二象限,②圖象在第一、三象限,
③圖象關(guān)于y軸對稱,④圖象關(guān)于原點對稱,
⑤當x>0時,y隨x增大而增大;當x<0時,y隨x增大而增大,
⑥當x>0時,y隨x增大而減小;當x<0時,y隨x增大而增大,
是函數(shù)y= 的性質(zhì)及它的圖象特征的是: . (填寫所有正確答案的序號)

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【題目】如圖,ADBC,ABCD,AC,BD交于O點,過O點的直線EFADE點,交BCF點,且BF=DE,則圖中的全等三角形共有(  )

A. 6 B. 5 C. 3 D. 2

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【題目】如圖,小明和小月兩家位于A,B兩處隔河相望,要測得兩家之間的距離,小明設(shè)計方案如下:

①從點A出發(fā)沿河岸畫一條射線AM;

②在射線AM上截取AF=FE;

③過點EECAB,使B,F(xiàn),C在一條直線上;

CE的長就是A,B間的距離.

(1)請你說明小明設(shè)計的原理.

(2)如果不借助測量儀,小明的設(shè)計中哪一步難以實現(xiàn)?

(3)你能設(shè)計出更好的方案嗎?

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【題目】小軍同學在學校組織的社會調(diào)查活動中負責了解他所居住的小區(qū)450戶居民的生活用水情況,他從中隨機調(diào)查了50戶居民的月均用水量(單位:t),并繪制了樣本的頻數(shù)分布表和頻數(shù)分布直方圖(如圖)

(1)請根據(jù)題中已有的信息補全頻數(shù)分布表和頻數(shù)分布直方圖;

月均用水量/t

頻數(shù)

百分比

2≤x3

2

4%

3≤x4

12

24%

4≤x5

5≤x6

10

20%

6≤x7

12%

7≤x8

3

6%

8≤x9

2

4%

 

(2)如果家庭月均用水量大于或等于4 t且小于7 t”為中等用水量家庭,請你通過樣本估計總體中的中等用水量家庭大約有多少戶.

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