Question

如圖，矩形ABCD中，BC=2AB，對(duì)角線相交于O，過(guò)C點(diǎn)作CE⊥BD交BD于E點(diǎn)，H為BC中點(diǎn)，連結(jié)AH交BD于G點(diǎn)，交EC的延長(zhǎng)線于F點(diǎn)．
（1）求證：EH=AB；
（2）若AD=6，求CF的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：矩形的性質(zhì),直角三角形斜邊上的中線,勾股定理

專題：

分析：（1）根據(jù)直角三角形斜邊上中線得出BC=2EH，即可得出答案．
（2）根據(jù)勾股定理求出AC，求出∠CAF=∠F，根據(jù)等腰三角形的判定推出AC=CF，即可得出答案．

解答：證明：（1）∵CE⊥BD，
∴∠CEB=90°，
∵H為BC中點(diǎn)，
∴EH=

1

2

BC，
∵BC=2AB，
∴AB=EH．
    
（2）解：∵在矩形ABCD中，AD=BC=6，CD=AB=3，
∴由勾股定理知AC=3

5

，
∵H為BC中點(diǎn)，BC=2AB，
∴AB=BH，
∵矩形ABCD中，∠ABH=90°，
∴∠AEB=∠BAE=45°，
∴∠ECH=∠CHF+∠F=45°+∠F，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，∠DCB=90°，
∵CE⊥BD，
∴∠CED=90°，
∴∠DCE+∠CDB=∠ECB+∠DCE=90°，
∴∠ECB=∠CDB，
∵AB∥DC，
∴∠ECH=∠CDE=∠BAO，
∵∠BAO=∠BAH+∠HAC，
∴∠F=∠HAC，
∴CF=AC=3

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了矩形的性質(zhì)，直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)，勾股定理，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，主要考查學(xué)生綜合運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理的能力．