【題目】將一塊含有45°的三角板ABC的頂點(diǎn)A放在⊙O上,且AC⊙O相切于點(diǎn)A(如圖1),將△ABC從點(diǎn)A開始,繞著點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn),設(shè)旋轉(zhuǎn)角為αα135°),旋轉(zhuǎn)后,AC、AB分別與⊙O交于點(diǎn)E,F,連接EF(如圖2).已知AC=8,⊙O的半徑為4

1)在旋轉(zhuǎn)過程中,有以下幾個量:EF的長;的長;③∠AFE的度數(shù);點(diǎn)OEF的距離.其中不變的量是___________________(填序號);

2)當(dāng)α________°時,BC⊙O相切(直接寫出答案);

3)當(dāng)BC⊙O相切時,求△AEF的面積.

【答案】1①②④;(290°;(316

【解析】

試題(1)連接EO,FO,可知三角形EOF為等腰直角三角形,作OD垂直EFD,由垂徑定理,勾股定理可得出結(jié)論;(2)因?yàn)?/span>AC=8,而⊙O的半徑為4.所以當(dāng)BC⊙O相切時,△ACB繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)90°AC恰為⊙O直徑,即旋轉(zhuǎn)角α90度時BC⊙O相切;(3)當(dāng)BC⊙O相切時,如圖:點(diǎn)C與點(diǎn)E重合,AC⊙O直徑,利用三角形AEF是等腰直角三角形得出結(jié)果.

試題解析:(1)連接EO,FO,因?yàn)?/span>∠A=45,所以∠EOF=2∠A=90,因?yàn)?/span>EO=FO,所以三角形EOF為等腰直角三角形,作OD垂直EFD,由垂徑定理得:OD垂直平分EF,三角形ODE和三角形ODF是兩個全等的等腰直角三角形,所以EF=OFOD=OF,而半徑OF是一定的,所以弦EF的長不變,點(diǎn)OEF的距離即OD不變,故①④正確,又因?yàn)榘霃讲蛔,圓心角∠EOF=90不變,所以的長不變,故正確,而∠AFE的度數(shù)等于弧AE度數(shù)的一半,A點(diǎn)不變,E是旋轉(zhuǎn)中AC⊙O交點(diǎn),可變,故弧AE度數(shù)可變,所以∠AFE的度數(shù)可變,故錯誤,所以不變的序號應(yīng)是①②④;(2)因?yàn)閳A的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑,而∠ACB=90當(dāng)BC⊙O相切時,因?yàn)?/span>AC=8,而⊙O的半徑為4.所以△ACB繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)90°AC恰為⊙O直徑,即旋轉(zhuǎn)角α90度時BC⊙O相切;(3)如右圖,

當(dāng)BC⊙O相切時,依題意可知,△ACB旋轉(zhuǎn)90°AC⊙O直徑,且點(diǎn)C與點(diǎn)E重合,∵AC⊙O直徑,∴∠AFE=90°.又∵∠BAC=45°,∴∠FCA=45°∴∠BAC=∠FCA,∴AF=EF∵AC=8,∴AF=EF=4∴SAEF=×42=16.故△AEF的面積是16..

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,正方形ABCD的邊長為10,點(diǎn)E、F分別在邊BC、CD上,且∠EAF=45°,AHEF于點(diǎn)H,AH=10,連接BD,分別交AE、AH、AF于點(diǎn)P、G、Q.

(1)求CEF的周長;

(2)若EBC的中點(diǎn),求證:CF=2DF;

(3)連接QE,求證:AQ=EQ.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】探究與發(fā)現(xiàn):如圖(1)所示的圖形,像我們常見的學(xué)習(xí)用品一圓規(guī),我們,不妨把這樣圖形叫做“規(guī)形圖

1)觀察“規(guī)形圖(1)”,試探究∠BDC與∠A、∠B、∠C之間的數(shù)量關(guān)系,并說明理由;

2)請你直接利用以上結(jié)論,解決以下問題:

如圖(2),把一塊三角尺XYZ放置在△ABC上使三角尺的兩條直角邊XY、XZ恰好經(jīng)過點(diǎn)B、C,若∠A40°,則∠ABX+ACX   °.

如圖(3),DC平分∠ADBEC平分∠AEB,若∠DAE40°,∠DBE130°,求∠DCE的度數(shù).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,已知AB=12,點(diǎn)C、DAB上,且AC=DB=2,點(diǎn)P從點(diǎn)C沿線段CD向點(diǎn)D運(yùn)動(運(yùn)動到點(diǎn)D停止),以AP、BP為斜邊在AB的同側(cè)畫等腰Rt△APE和等腰Rt△PBF,連接EF,取EF的中點(diǎn)G,下列說法中正確的有( )

①△EFP的外接圓的圓心為點(diǎn)G;

四邊形AEFB的面積不變;

③EF的中點(diǎn)G移動的路徑長為4

A. 0B. 1C. 2D. 3

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】在“文化宜昌全民閱讀”活動中,某中學(xué)社團(tuán)“精一讀書社”對全校學(xué)生的人數(shù)及紙質(zhì)圖書閱讀量(單位:本)進(jìn)行了調(diào)查,2012年全校有1000名學(xué)生,2013年全校學(xué)生人數(shù)比2012年增加10%,2014年全校學(xué)生人數(shù)比2013年增加100人.

(1)求2014年全校學(xué)生人數(shù);

(2)2013年全校學(xué)生人均閱讀量比2012年多1本,閱讀總量比2012年增加1700本(注:閱讀總量=人均閱讀量×人數(shù))

求2012年全校學(xué)生人均閱讀量;

2012年讀書社人均閱讀量是全校學(xué)生人均閱讀量的2.5倍,如果2012年、2014年這兩年讀書社人均閱讀量都比前一年增長一個相同的百分?jǐn)?shù)a,2014年全校學(xué)生人均閱讀量比2012年增加的百分?jǐn)?shù)也是a,那么2014年讀書社全部80名成員的閱讀總量將達(dá)到全校學(xué)生閱讀總量的25%,求a的值.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】機(jī)動車行駛到斑馬線要禮讓行人等交通法規(guī)實(shí)施后,某校數(shù)學(xué)課外實(shí)踐小組就對這些交通法規(guī)的了解情況在全校隨機(jī)調(diào)查了部分學(xué)生,調(diào)查結(jié)果分為四種:A.非常了解,B.比較了解,C.基本了解,D.不太了解,實(shí)踐小組把此次調(diào)查結(jié)果整理并繪制成下面不完整的條形統(tǒng)計(jì)圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖.

請結(jié)合圖中所給信息解答下列問題:

(1)本次共調(diào)查  名學(xué)生;扇形統(tǒng)計(jì)圖中C所對應(yīng)扇形的圓心角度數(shù)是  ;

(2)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖;

(3)該校共有800名學(xué)生,根據(jù)以上信息,請你估計(jì)全校學(xué)生中對這些交通法規(guī)非常了解的有多少名?

(4)通過此次調(diào)查,數(shù)學(xué)課外實(shí)踐小組的學(xué)生對交通法規(guī)有了更多的認(rèn)識,學(xué)校準(zhǔn)備從組內(nèi)的甲、乙、丙、丁四位學(xué)生中隨機(jī)抽取兩名學(xué)生參加市區(qū)交通法規(guī)競賽,請用列表或畫樹狀圖的方法求甲和乙兩名學(xué)生同時被選中的概率.

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【題目】如圖,已知AB是⊙O的直徑,BCAB,連結(jié)OC,弦ADOC,直線CDBA的延長線于點(diǎn)E

(1)求證:直線CD是⊙O的切線;

(2)若DE=2BC,AD=5,求OC的值.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某工廠要把一批產(chǎn)品從A地運(yùn)往B地,若通過鐵路運(yùn)輸,則每千米需交運(yùn)費(fèi)15元,還要交裝卸費(fèi)400元及手續(xù)費(fèi)200元,若通過公路運(yùn)輸,則每千米需要交運(yùn)費(fèi)25元,還需交手續(xù)費(fèi)100元(由于本廠職工裝卸,不需交裝卸費(fèi)).設(shè)A地到B地的路程為x km,通過鐵路運(yùn)輸和通過公路運(yùn)輸需交總運(yùn)費(fèi)y1元和y2元,

(1)y1y2關(guān)于x的表達(dá)式.

(2)若A地到B地的路程為120km,哪種運(yùn)輸可以節(jié)省總運(yùn)費(fèi)?

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,是二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象的一部分,給出下列命題:①abc<0;② 2a>b;③b=a+c;④8a+c>0;⑤ax2+bx+c=0的兩根分別為﹣3和1.其中正確的命題有( )

A. 2個 B. 3個 C. 4個 D. 5個

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