Question

【題目】如圖，菱形ABCD的邊AD⊥y軸，垂足為點(diǎn)E，頂點(diǎn)A在第二象限，頂點(diǎn)B在y軸的正半軸上，反比例函數(shù)y＝（k≠0，x＞0）的圖象同時(shí)經(jīng)過頂點(diǎn)C，D．若點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為5，BE＝3DE

（1）求出k值．

（2）求出△OCD的面積

（3）試探究坐標(biāo)軸上是否存在點(diǎn)P，使得△PCD的面積等于菱形ABCD的面積的一半，如果存在，請直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；如不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）k＝；（2）9；（3）存在，P(0，)或(1，0)

【解析】

（1）由已知，可得菱形邊長為5，作DF⊥BC，設(shè)出點(diǎn)D坐標(biāo)，即可用勾股定理構(gòu)造方程，進(jìn)而求出k值；

（2）連接OD、OC，構(gòu)造矩形OEGH，利用矩形的面積減去三個小三角形的面積，即可得到答案；

（3）先求出菱形的面積，然后得到△PCD的面積，然后分成兩種情況討論，分別作出圖形，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)即可.

解：（1）過點(diǎn)D作DF⊥BC于F，

由已知，BC＝5，

∵四邊形ABCD是菱形，

∴DC＝5，

∵BE＝3DE，

∴設(shè)DE＝x，則BE＝3x，

∴DF＝3x，BF＝x，FC＝5﹣x，

在Rt△DFC中，DF2+FC2＝DC2

∴（3x）2+（5﹣x）2＝52

∴解得：x＝1；

∴DE＝1，FD＝3，

設(shè)OB＝a

則點(diǎn)D坐標(biāo)為（1，a+3），點(diǎn)C坐標(biāo)為（5，a），

∵點(diǎn)D、C在雙曲線上，

∴1×（a+3）＝5a，

∴a＝，

∴點(diǎn)C坐標(biāo)為（5，），點(diǎn)D坐標(biāo)為（1，），

∴k＝；

（2）連接OD、OC，構(gòu)造矩形OEGH，如圖：

由（1）知，點(diǎn)C坐標(biāo)為（5，），點(diǎn)D坐標(biāo)為（1，），

∴OE=，DE=1，DG=4，CG=3，CH=，OH=5，

∴；

（3）存在；

①當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)，如圖，連接PD；

∵PD是菱形的對角線，

∴，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為：(0，)；

②如圖，過點(diǎn)D作DP⊥x軸，交BC于點(diǎn)F，

由（1）可知，，

∵DP=，，

∴，

∴，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（1，0）；

綜合上述，P的坐標(biāo)為(0，)，(1，0).