Question

如圖，拋物線y=-x²+bx+c與x軸交于點(diǎn)A（-1，0），B（5，0）兩點(diǎn)，直線y=-

3

4

x+3與y軸交于點(diǎn)C，與x軸交于點(diǎn)D．點(diǎn)P是x軸上方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PF⊥x軸于點(diǎn)F，交直線CD于點(diǎn)E．設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若PE=5EF，求m的值；
（3）若點(diǎn)E′是點(diǎn)E關(guān)于直線PC的對(duì)稱點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P，使點(diǎn)E′落在y軸上？若存在，請(qǐng)直接寫出相應(yīng)的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：代數(shù)幾何綜合題,壓軸題

分析：（1）利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；
（2）用含m的代數(shù)式分別表示出PE、EF，然后列方程求解；
（3）解題關(guān)鍵是識(shí)別出當(dāng)四邊形PECE′是菱形，然后根據(jù)PE=CE的條件，列出方程求解；當(dāng)四邊形PECE′是菱形不存在時(shí)，P點(diǎn)y軸上，即可得到點(diǎn)P坐標(biāo)．

解答：解：（1）將點(diǎn)A、B坐標(biāo)代入拋物線解析式，得：

-1-b+c=0 -25+5b+c=0

，解得

b=4 c=5

，
∴拋物線的解析式為：y=-x²+4x+5．

（2）∵點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，
∴P（m，-m²+4m+5），E（m，-

3

4

m+3），F(xiàn)（m，0）．
∴PE=|y_P-y_E|=|（-m²+4m+5）-（-

3

4

m+3）|=|-m²+

19

4

m+2|，
EF=|y_E-y_F|=|（-

3

4

m+3）-0|=|-

3

4

m+3|．
由題意，PE=5EF，即：|-m²+

19

4

m+2|=5|-

3

4

m+3|=|-

15

4

m+15|
①若-m²+

19

4

m+2=-

15

4

m+15，整理得：2m²-17m+26=0，
解得：m=2或m=

13

2

；
②若-m²+

19

4

m+2=-（-

15

4

m+15），整理得：m²-m-17=0，
解得：m=

1+ 69

2

或m=

1- 69

2

．
由題意，m的取值范圍為：0＜m＜5，故m=

13

2

、m=

1- 69

2

這兩個(gè)解均舍去．
∴m=2或m=

1+ 69

2

．

（3）假設(shè)存在．
作出示意圖如下：

∵點(diǎn)E、E′關(guān)于直線PC對(duì)稱，
∴∠1=∠2，CE=CE′，PE=PE′．
∵PE平行于y軸，∴∠1=∠3，
∴∠2=∠3，∴PE=CE，
∴PE=CE=PE′=CE′，即四邊形PECE′是菱形．
當(dāng)四邊形PECE′是菱形存在時(shí)，
由直線CD解析式y(tǒng)=-

3

4

x+3，可得OD=4，OC=3，由勾股定理得CD=5．
過(guò)點(diǎn)E作EM∥x軸，交y軸于點(diǎn)M，易得△CEM∽△CDO，
∴

ME

OD

=

CE

CD

，即

|m|

4

=

CE

5

，解得CE=

5

4

|m|，
∴PE=CE=

5

4

|m|，又由（2）可知：PE=|-m²+

19

4

m+2|
∴|-m²+

19

4

m+2|=

5

4

|m|．
①若-m²+

19

4

m+2=

5

4

m，整理得：2m²-7m-4=0，解得m=4或m=-

1

2

；
②若-m²+

19

4

m+2=-

5

4

m，整理得：m²-6m-2=0，解得m₁=3+

11

，m₂=3-

11

．
由題意，m的取值范圍為：-1＜m＜5，故m=3+

11

這個(gè)解舍去．

當(dāng)四邊形PECE′是菱形這一條件不存在時(shí)，
此時(shí)P點(diǎn)橫坐標(biāo)為0，E，C，E'三點(diǎn)重合與y軸上，菱形不存在，即P點(diǎn)為（0，5）．
綜上所述，存在滿足條件的點(diǎn)P，可求得點(diǎn)P坐標(biāo)為（-

1

2

，

11

4

），（4，5），（3-

11

，2

11

-3），（0，5）．

點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)壓軸題，綜合考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、點(diǎn)的坐標(biāo)、待定系數(shù)法、菱形、相似三角形等多個(gè)知識(shí)點(diǎn)，重點(diǎn)考查了分類討論思想與方程思想的靈活運(yùn)用．需要注意的是，為了避免漏解，表示線段長(zhǎng)度的代數(shù)式均含有絕對(duì)值，解方程時(shí)需要分類討論、分別計(jì)算．