【題目】已知,四邊形ABCD是正方形,點(diǎn)P在直線BC上,點(diǎn)G在直線AD上(P、G不與正方形頂點(diǎn)重合,且在CD的同側(cè)),PD=PG,DF⊥PG于點(diǎn)H,交直線AB于點(diǎn)F,將線段PG繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段PE,連結(jié)EF.
(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)G分別在線段BC與線段AD上時(shí).
①求證:DG=2PC;
②求證:四邊形PEFD是菱形;
(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)G分別在線段BC與線段AD的延長(zhǎng)線上時(shí),請(qǐng)猜想四邊形PEFD是怎樣的特殊四邊形,并證明你的猜想.
【答案】(1)①證明見(jiàn)解析;②證明見(jiàn)解析;(2)四邊形PEFD是菱形.理由見(jiàn)解析.
【解析】試題分析:(1)①作PM⊥DG于M,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)由PD=PG得MG=MD,根據(jù)矩形的判定易得四邊形PCDM為矩形,則PC=MD,于是有DG=2PC;
②根據(jù)四邊形ABCD為正方形得AD=AB,由四邊形ABPM為矩形得AB=PM,則AD=PM,再利用等角的余角相等得到∠GDH=∠MPG,于是可根據(jù)“ASA”證明△ADF≌△MPG,得到DF=PG,加上PD=PG,得到DF=PD,然后利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠EPG=90°,PE=PG,所以PE=PD=DF,再利用DF⊥PG得到DF∥PE,于是可判斷四邊形PEFD為平行四邊形,加上DF=PD,則可判斷四邊形PEFD為菱形;
(2)與(1)中②的證明方法一樣可得到四邊形PEFD為菱形.
試題解析:(1)①作PM⊥DG于M,如圖1,
∵PD=PG,
∴MG=MD,
∵四邊形ABCD為矩形,
∴PCDM為矩形,
∴PC=MD,
∴DG=2PC;
②∵四邊形ABCD為正方形,
∴AD=AB,
∵四邊形ABPM為矩形,
∴AB=PM,
∴AD=PM,
∵DF⊥PG,
∴∠DHG=90°,
∴∠GDH+∠DGH=90°,
∵∠MGP+∠MPG=90°,
∴∠GDH=∠MPG,
在△ADF和△MPG中, ,
∴△ADF≌△MPG(ASA),
∴DF=PG,
而PD=PG,
∴DF=PD,
∵線段PG繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段PE,
∴∠EPG=90°,PE=PG,
∴PE=PD=DF,
而DF⊥PG,
∴DF∥PE,
即DF∥PE,且DF=PE,
∴四邊形PEFD為平行四邊形,
∵DF=PD,
∴四邊形PEFD為菱形;
(2)解:四邊形PEFD是菱形.理由如下:
作PM⊥DG于M,如圖2,
與(1)一樣同理可證得△ADF≌△MPG,
∴DF=PG,
而PD=PG,
∴DF=PD,
∵線段PG繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段PE,
∴∠EPG=90°,PE=PG,
∴PE=PD=DF
而DF⊥PG,
∴DF∥PE,
即DF∥PE,且DF=PE,
∴四邊形PEFD為平行四邊形,
∵DF=PD,
∴四邊形PEFD為菱形.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】為了提高學(xué)生的身體素質(zhì),并爭(zhēng)取在學(xué)校的體育節(jié)中獲得好成績(jī),班級(jí)準(zhǔn)備從體育用品商店購(gòu)買跳繩和毽子.已知購(gòu)買5個(gè)毽子和3根跳繩共需85元,購(gòu)買4個(gè)毽子和5根跳繩共需120元.
(1)求一個(gè)毽子和一根跳繩各需多少元?
(2)由于購(gòu)買量大,商店給出如下優(yōu)惠:毽子6個(gè)一盒,整盒出售,每盒27元,跳繩八折優(yōu)惠.已知班級(jí)需要購(gòu)買的毽子數(shù)比跳繩數(shù)的2倍多10,總費(fèi)用不超過(guò)395元.問(wèn)班級(jí)最多能購(gòu)買多少根跳繩?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】我們知道,任意一個(gè)正整數(shù)都可以進(jìn)行這樣的分解:(是正整數(shù),且),在的所有這種分解中,如果兩因數(shù)之差的絕對(duì)值最小,我們就稱是的最佳分解,并規(guī)定.
例如:18可以分解成,,,因?yàn)?/span>,所以是18的最佳分解,所以.
(1)如果一個(gè)正整數(shù)是另外一個(gè)正整數(shù)的平方,我們稱正整數(shù)是完全平方數(shù).
求證:對(duì)任意一個(gè)完全平方數(shù),總有;
(2)如果一個(gè)兩位正整數(shù),(,為自然數(shù)),交換其個(gè)位上的數(shù)與十位上的數(shù),得到的新數(shù)減去原來(lái)的兩位正整數(shù)所得的差為9,那么我們稱這個(gè)為“求真抱樸數(shù)”,求所有的“求真抱樸數(shù)”;
(3)在(2)所得的“求真抱樸數(shù)”中,求的最大值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,若直線與直線交于點(diǎn),且兩條直線與軸分別交于點(diǎn)、點(diǎn);那么的面積為____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于,兩點(diǎn),與軸交于點(diǎn),與軸交于點(diǎn),已知點(diǎn)坐標(biāo)為,點(diǎn)的坐標(biāo)為.
(1)求反比例函數(shù)的解析式和一次函數(shù)的解析式;
(2)連結(jié),求的面積;
(3)觀察圖象直接寫出時(shí)的取值范圍是 ;
(4)直接寫出:為軸上一動(dòng)點(diǎn),當(dāng)三角形為等腰三角形時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo) .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,一個(gè)點(diǎn)在第一象限及x軸、y軸上移動(dòng),在第一秒鐘,它從原點(diǎn)移動(dòng)到點(diǎn)(1,0),然后按照?qǐng)D中箭頭所示方向移動(dòng),即(0,0)→(1,0)→(1,1)→)(0,1)→(0,2)→……,且每秒移動(dòng)一個(gè)單位,那么第2018秒時(shí),點(diǎn)所在位置的坐標(biāo)是( ).
A. (6,44)B. (38,44)C. (44,38)D. (44,6)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知菱形OABC,點(diǎn)C在x軸上,直線y=x經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,菱形OABC的邊長(zhǎng)是,若反比例函數(shù)y=的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)B,則k的值為_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,EF∥AD,AD∥BC,CE平分∠BCF,∠DAC=115°,∠ACF=25°,則∠FEC=_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某學(xué)習(xí)小組在探索“各內(nèi)角都相等的圓內(nèi)接多邊形是否為正多邊形”時(shí),進(jìn)行如下討論:
甲同學(xué):這種多邊形不一定是正多邊形,如圓內(nèi)接矩形.
乙同學(xué):我發(fā)現(xiàn)邊數(shù)是6時(shí),它也不一定是正多邊形,如圖1,△ABC是正三角形, ,證明六邊形ADBECF的各內(nèi)角相等,但它未必是正六邊形.
丙同學(xué):我能證明,邊數(shù)是5時(shí),它是正多邊形,我想…,邊數(shù)是7時(shí),它可能也是正多邊形.
(1)請(qǐng)你說(shuō)明乙同學(xué)構(gòu)造的六邊形各內(nèi)角相等;
(2)請(qǐng)你證明,各內(nèi)角都相等的圓內(nèi)接七邊形ABCDEFG(如圖2)是正七邊形;(不必寫已知,求證)
(3)根據(jù)以上探索過(guò)程,提出你的猜想.(不必證明)
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