Question

已知關于x的方程x²﹣2（m+1）x+m²=0，

（1）當m取什么值時，原方程沒有實數(shù)根；

（2）對m選取一個合適的非零整數(shù)，使原方程有兩個實數(shù)根，并求這兩個實數(shù)根的平方和．

Answer 1

【考點】根的判別式；根與系數(shù)的關系．

【專題】計算題；壓軸題；判別式法．

【分析】（1）要使原方程沒有實數(shù)根，只需△＜0即可，然后可以得到關于m的不等式，由此即可求出m的取值范圍；

（2）根據(jù)（1）中求得的范圍，在范圍之外確定一個m的值，再根據(jù)根與系數(shù)的關系求得兩根的平方和．

【解答】解：（1）∵方程沒有實數(shù)根

∴b²﹣4ac=[﹣2（m+1）]²﹣4m²=8m+4＜0，

∴，

∴當時，原方程沒有實數(shù)根；

（2）由（1）可知，時，方程有實數(shù)根，

∴當m=1時，原方程變?yōu)閤²﹣4x+1=0，

設此時方程的兩根分別為x₁，x₂，

則x₁+x₂=4，x₁•x₂=1，

∴x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²﹣2x₁x₂=16﹣2=14，

∴當m=1時，原方程有兩個實數(shù)根，這兩個實數(shù)根的平方和是14．

【點評】此題要求學生能夠用根的判別式求解字母的取值范圍，熟練運用根與系數(shù)的關系求關于兩個根的一些代數(shù)式的值．