Question

如圖1，四邊形ABCD中，AD∥BC，DE平分∠ADB，∠BDC=∠BCD，
（1）求證：∠EDC=90°．
（2）若∠ABD的平分線與CD的延長線交于F（圖2），且∠F=55°，求∠ABC．

Answer 1

考點：平行線的性質(zhì)

專題：

分析：（1）根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理列式求出∠CBD+2∠BDC=180°，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得∠CBD=∠ADB，再根據(jù)角平分線的定義可得∠BDE=

1

2

∠ADB，然后求出∠EDC=90°；
（2）設(shè)BF、DE相交于點O，根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出∠DOF，再根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和求出∠OBD+∠ODB，然后根據(jù)角平分線的定義求出∠ABD+∠ADB，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出∠A，然后根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)解答．

解答：（1）證明：在△BCD中，∠CBD+∠BDC+∠BCD=180°，
∵∠BDC=∠BCD，
∴∠CBD+2∠BDC=180°，
∵AD∥BC，
∴∠CBD=∠ADB，
∵DE平分∠ADB，
∴∠BDE=

1

2

∠ADB，
∴∠EDC=∠BDE+∠BDC=

1

2

（∠CBD+2∠BDC）=

1

2

×180°=90°，
故：∠EDC=90°；

（2）解：設(shè)BF、DE相交于點O，
∵∠EDC=90°，
∴∠FDO=90°，
∴∠DOF=90°-∠F=90°-55°=35°，
由三角形的外角性質(zhì)，∠OBD+∠ODB=∠DOF=35°，
∵DE平分∠ADB，BF平分∠ABD，
∴∠ABD+∠ADB=2（∠OBD+∠ODB）=2×35°=70°，
在△ABD中，∠A=180°-（∠ABD+∠ADB）=180°-70°=110°，
∵AD∥BC，
∴∠ABC=180°-∠A=180°-110°=70°．

點評：本題考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和的性質(zhì)，熟記各性質(zhì)并準(zhǔn)確識圖是解題的關(guān)鍵．