Question

如圖所示，在菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=120°，△AEF為正三角形，點E、F分別在菱形的邊BC、CD上滑動，且E、F不與B、C、D重合．

（1）證明不論E、F在BC、CD上如何滑動，總有BE=CF；

（2）當點E、F在BC、CD上滑動時，分別探討四邊形AECF和△CEF的面積是否發(fā)生變化？如果不變，求出這個定值；如果變化，求出最大（或最小）值．

 

 

Answer 1

（1）證明見解析；（2）四邊形AECF的面積不變．；△CEF的面積隨△AEF面積的變化而變化，.

【解析】

試題分析：（1）先求證AB=AC，進而求證△ABC、△ACD為等邊三角形，得∠4=60°，AC=AB進而求證△ABE≌△ACF，即可求得BE=CF；

（2）根據(jù)△ABE≌△ACF可得S△ABE=S△ACF，故根據(jù)S四邊形AECF=S△AEC+S△ACF=S△AEC+S△ABE=S△ABC即可解題；當正三角形AEF的邊AE與BC垂直時，邊AE最短．△AEF的面積會隨著AE的變化而變化，且當AE最短時，正三角形AEF的面積會最小，又根據(jù)S△CEF=S四邊形AECF-S△AEF，則△CEF的面積就會最大．

試題解析：（1）證明：連接AC，如圖所示，

∵四邊形ABCD為菱形，∠BAD=120°，

∠1+∠EAC=60°，∠3+∠EAC=60°，

∴∠1=∠3，

∵∠BAD=120°，

∴∠ABC=60°，

∴△ABC和△ACD為等邊三角形，

∴∠4=60°，AC=AB，

∴在△ABE和△ACF中，

∴△ABE≌△ACF（ASA）．

∴BE=CF；

（2）【解析】
四邊形AECF的面積不變．

理由：由（1）得△ABE≌△ACF，

則S△ABE=S△ACF，

故S四邊形AECF=S△AEC+S△ACF=S△AEC+S△ABE=S△ABC，是定值，

作AH⊥BC于H點，則BH=2，

S四邊形AECF=S△ABC== ，

結(jié)論1：S△CEF=S四邊形AECF﹣S△AEF=S菱形ABCD﹣S△AEF

結(jié)論2：△CEF的面積隨△AEF面積的變化而變化。

當AE最短時，△CEF的面積有最大值．

S△CEF=S四邊形AECF﹣S△AEF=

考點：1.菱形的性質(zhì)；2.二次函數(shù)的最值；3.全等三角形的判定與性質(zhì)；4.等邊三角形的性質(zhì)．