Question

如圖，等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，BE平分∠BAC交AC于E，過C作CD⊥BE于D，連接AD，求證：
（1）∠ADB=45°；
（2）BE=2CD．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：證明題

分析：（1）求出A、B、C、D四點共圓，推出∠ADB=∠ACB，求出∠ACB=∠ABC=45°即可；
（2）延長BA和CD交于Q，證△ABE≌△ACQ，求出BE=CQ，求出∠BDC=∠BDQ=90°，證△QDB≌△CDB，推出CD=DQ即可．

解答：證明：（1）∵CD⊥BE，∠BAC=90°，
∴A、B、C、D四點共圓，
∴∠ADB=∠ACB，
∵等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠ACB=∠ABC=45°，
∴∠ADB=45°；

（2）
延長BA和CD交于Q，
∵∠CAQ=∠BAE=∠BDC=90°，
∴∠ACQ+∠Q=90°，∠ABE+∠Q=90°，
∴∠ACQ=∠ABE，
在△ABE和△ACQ中，

∠ABE=∠ACQ AB=AC ∠BAE=∠CAQ

，
∴△ABE≌△ACQ（ASA），
∴BE=CQ，
∵BD平分∠ABC，
∴∠QBD=∠CBD，
∵∠BDC=90°，
∴∠BDC=∠BDQ=90°，
在△QDB和△CDB中，

∠QBD=∠CBD BD=BD ∠BDQ=∠BDC

，
∴△QDB≌△CDB（ASA），
∴CD=DQ，
∴CQ=2CD，
∴BE=2CD．

點評：本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，題目是一道比較好的題目，難度適中．