Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=

1

4

x2+

1

2

bx+c與y軸相交于點(diǎn)B，其頂點(diǎn)A在直線y=

3

4

x上運(yùn)動(dòng)．
（1）當(dāng)b=-4時(shí)，求點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)△AOB為直角三角形時(shí)，求b、c的值；
（3）已知△CDE的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為C（-5，2）、D（-3，2）、E（-5，6），當(dāng)拋物線y=

1

4

x2+

1

2

bx+c對(duì)稱軸左側(cè)的部分與△CDE的三邊一共有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，求b的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）利用頂點(diǎn)式得出M點(diǎn)坐標(biāo)，再利用頂點(diǎn)在直線y=

3

4

x上，得出b與c的關(guān)系，進(jìn)而得出c的值，即可得出B點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）若點(diǎn)A在第三象限時(shí)，△AOB不可能為直角三角形，當(dāng)點(diǎn)A在坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，△AOB不存在，若點(diǎn)A在第一象限，當(dāng)△AOB為直角三角形時(shí)，顯然只有∠BAO=90°，再利用△OAB∽△OHA，得出OA²=OH•OB．設(shè)A（-b，-

3

4

b），則AH=|-

3

4

b|，OA²=b²+

9

16

b²=

25

16

b²，故

25

16

b²=-bc①，又-

3

4

b=

1

4

b²+

1

2

b²+c②，由①②求得b、c的值；
（3）由（1）可知，y=

1

4

（x+b）²-

3

4

b，點(diǎn)E（-5，6）在該拋物線上時(shí)，6=

1

4

（-5+b）²-

3

4

b，求出b的值，再求出直線ED的解析式為：y=-2x-4（-6≤x≤-3）．代入拋物線解析式得：-2x-4=

1

4

（x+b）²-

3

4

b．令△=0．解得：b=0．則b的取值范圍為：

13- 165

2

≤b≤0．

解答：解：（1）∵y=

1

4

x2+

1

2

bx+c=

1

4

（x+b）²-

1

4

b²+c，
∴拋物線頂點(diǎn)A坐標(biāo)為：（-b，-

1

4

b²+c），
∵頂點(diǎn)在直線y=

3

4

x上，
∴-

1

4

b²+c=-

3

4

b，
當(dāng)b=-4時(shí)，c=7，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為：（0，7）；

（2）若點(diǎn)A在第三象限時(shí)，△AOB不可能為直角三角形，當(dāng)點(diǎn)A在坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，△AOB不存在，若點(diǎn)A在第一象限，當(dāng)△AOB為直角三角形時(shí)，顯然只有∠BAO=90°．
如圖1，過點(diǎn)A在x軸的垂線，垂足為H，
∵∠BAO=∠AHO=90°，∠OBA=∠AOH（同角的余角相等），
∴△OAB∽△AHO，
∴

OA

AH

=

OB

OA

，
∴OA²=AH•OB，
設(shè)A（-b，-

3

4

b），則AH=|-

3

4

b|，OA²=b²+

9

16

b²=

25

16

b²，
∴

25

16

b²=-bc，①
又∵-

3

4

b=

1

4

b²+

1

2

b²+c，②
由①②，得
b=-

13

4

，c=

325

64

；

（3）由（1）知，y=

1

4

（x+b）²-

1

4

b²+c=

1

4

（x+b）²-

3

4

b．
當(dāng)點(diǎn)E（-5，6）在該拋物線上時(shí)，6=

1

4

（-5+b）²-

3

4

b，
解得 b=

13± 165

2

，
∵在對(duì)稱軸的左側(cè)，D（-3，2）、E（-5，6），
∴b只能取

13- 165

2

．
設(shè)直線ED的解析式為y=kx+t（k≠0），
則

-3k+t=2 -5k+t=6

，
解得，

k=-2 t=-4

，
∴直線DE的解析式為：y=-2x-4（-6≤x≤-3）．
代入拋物線解析式得：-2x-4=

1

4

（x+b）²-

3

4

b．
整理 得 x²+（2b+8）x+b²-3b+16=0．
令△=0得，（2b+8）²-4（b²-3b+16）=0，
解得：b=0，
∴b的取值范圍為：0≤b≤

13- 165

2

．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用以及待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式和根的判別式等知識(shí)，熟練利用數(shù)形結(jié)合得出m的取值范圍是解題關(guān)鍵．