Question

【題目】如圖1，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，D是AB的中點(diǎn)，E，F(xiàn)分別是AC，BC上的點(diǎn)（點(diǎn)E不與端點(diǎn)A，C重合），且AE=CF.

（1）求證：△ADE≌△CDF

（2）如圖2連接EF并取EF的中點(diǎn)O，連接DO并延長(zhǎng)至點(diǎn)G，使GO=OD，連接DE，DF，GE，GF．求證：四邊形EDFG是正方形.

（3）當(dāng)點(diǎn)E在什么位置時(shí)，四邊形EDFG的面積最��？直接寫出點(diǎn)E的位置及四邊形EDFG面積的最小值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）當(dāng)點(diǎn)E位于AC中點(diǎn)時(shí)，面積最小，最小值是4

【解析】

（1）連接CD，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得出∠A=∠DCF=45°、AD=CD，結(jié)合AE=CF可證出△ADE≌△CDF（SAS）;(2)根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得出DE=DF、ADE=∠CDF，通過(guò)角的計(jì)算可得出∠EDF=90°，再根據(jù)O為EF的中點(diǎn)、GO=OD，即可得出GD⊥EF，且GD=2OD=EF，由此即可證出四邊形EDFG是正方形；（3）過(guò)點(diǎn)D作DE′⊥AC于E′，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得出DE′的長(zhǎng)度，從而得出2≤DE＜2，再根據(jù)正方形的面積公式即可得出四邊形EDFG的面積的最小值．

（1）證明：連接CD，如圖1所示．

∵△ABC為等腰直角三角形，∠ACB=90°，D是AB的中點(diǎn)，
∴∠A=∠DCF=45°，AD=CD．
在△ADE和△CDF中，

，
∴△ADE≌△CDF（SAS）；

(2) ∵△ADE≌△CDF（SAS）,

∴DE=DF，∠ADE=∠CDF．
∵∠ADE+∠EDC=90°，
∴∠EDC+∠CDF=∠EDF=90°，
∴△EDF為等腰直角三角形．
∵O為EF的中點(diǎn)，GO=OD，
∴GD⊥EF，且GD=2OD=EF，
∴四邊形EDFG是正方形；

(3) 解：過(guò)點(diǎn)D作DE′⊥AC于E′，如圖2所示．

∵△ABC為等腰直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC=4，
∴DE′= BC=2，AB=4，點(diǎn)E′為AC的中點(diǎn)，
∴2≤DE＜2（點(diǎn)E與點(diǎn)E′重合時(shí)取等號(hào)）．
∴4≤S四邊形EDFG=DE2＜8．
∴當(dāng)點(diǎn)E為線段AC的中點(diǎn)時(shí)，四邊形EDFG的面積最小，該最小值為4．