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如圖,△ABC中,∠A=90°,角平分線BD、CE交于點I,IF⊥CE交CA于F,IH⊥AB于H,下列結論:①∠DIF=45°;②CF+BE=BC;③AE+AF=2AH;④S四邊形BEDC=2S△IBC,其中正確的結論為
 
考點:角平分線的性質,全等三角形的判定與性質
專題:
分析:根據三角形的內角和定理和角平分線的定義求出∠BIC=135°,再求出∠CID=45°,然后求出∠DIF=45°,判斷出①正確;延長FI交BC于G,利用“角邊角”證明△CIG和△CIF全等,根據全等三角形對應邊相等可得CG=CF,再求出∠BIE=∠BIG=45°,然后利用“角邊角”證明△BIG和△BIE全等,根據全等三角形對應邊相等可得BG=BE,再根據CG+BG=BC等量代換即可得到CF+BE=BC,判斷出②正確;過點G作GM⊥AB于M,連接EF、EG,根據全等三角形對應邊相等可得IE=IG,然后求出∠IEG=45°,根據線段垂直平分線上的點到兩端點的距離相等可得EG=EF,再求出∠EGM=∠AEF,然后利用“角角邊”證明△AEF和△MGE全等,根據全等三角形對應邊相等可得AF=ME,再根據AM=AE+EM等量代換,IH⊥AB整理,判斷出③正確;求出EF∥BD,根據平行線間的距離相等,利用等底等高的三角形的面積相等可得S△IED=S△IFD,然后求出S△CDE=S△CID+S△IED,再求出S△BIE+S△CED=S△IBC,然后求出S四邊形BEDC=2S△IBC,判斷出④正確.
解答:解:∵∠A=90°,角平分線BD、CE交于點I,
∴∠BIC=180°-(∠IBC+∠ICB)=180°-45°=135°,
∴∠CID=45°,
∵IF⊥IC,
∴∠DIF=45°,故①正確;
延長FI交BC于G,
在△CIG和△CIF中,
∠ACE=∠BCE
CI=CI
∠CIF=∠CIG=90°
,
∴△CIG≌△CIF(ASA),
∴CG=CF,
∵∠BIE=∠CID=45°,∠BIG=∠DIF=45°,
∴∠BIE=∠BIG=45°,
在△BIG和△BIE中,
∠BIE=∠BIG
BI=BI
∠ABD=∠CBD

∴△BIG≌△BIE(ASA),
∴BG=BE,
∵CG+BG=BC,
∴CF+BE=BC,故②正確;
過點G作GM⊥AB于M,連接EF、EG,
∵△BIG≌△BIE,
∴IE=IG,
∴∠IEG=45°,
∵CE垂直平分FG,
∴EG=EF,
∵∠FEG=∠IEG+∠IEF=45°+45°=90°,
∴∠EGM+∠MEG=∠AEF+∠MEG=90°,
∴∠EGM=∠AEF,
在△AEF和△MGE中,
∠EGM=∠AEF
∠A=∠EMG=90°
EG=EF
,
∴△AEF≌△MGE(AAS),
∴AF=ME,
∵AM=AE+EM,
∵IG=IF,IH⊥AB,
∴AM=2AH,
∴AE+AF=2AH,故③正確;
∵∠IEG=∠BIE=45°,
∴EF∥BD,
∴S△IED=S△IFD,
∴S△CDE=S△CID+S△IED
∴S△BIE+S△CED=S△IBC,
∴S四邊形BEDC=2S△IBC,故④正確.
綜上所述,結論正確的是①②③④.
故答案為:①②③④.
點評:本題考查了角平分線的性質,全等三角形的判定與性質,等腰直角三角形的判定與性質,等底等高的三角形的面積相等的性質,熟記各性質是解題的關鍵,難點在于作輔助線構造出全等三角形和等腰直角三角形.
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2
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2
+1)2
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2
+1.
請仿照上面的方法化簡下列各式:
(1)
5+2
6
;   
(2)
6-2
5
;     
(3)
6+4
2
×
6-4
2

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