將兩塊全等的三角板如圖①擺放，其中∠ACB=∠DCE=90°，∠A=∠D=45°，將圖①中的△DCE順時針旋轉(zhuǎn)得圖②，點(diǎn)P是AB與CE的交點(diǎn)，點(diǎn)Q是DE與BC的交點(diǎn)，在DC上取一點(diǎn)F，連接BE、FP，設(shè)BC=1，當(dāng)BF⊥AB時，求△PBF面積的最大值。


解：∵∠ACB =90°，∠A=45°，

∴∠A=∠ABC=45°。

∴AC=BC=1 。

            ∵BF⊥AB，

∴∠CBF=45°。

∴∠A=∠CBF。

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：∠BCF=∠ACP，

∴△BCF≌△ACP(ASA)。

∴BF=AP。

∵∠ACB =90°，∠A=45°，AC =1，

∴AB=。

設(shè)BP=x，則BF=AP=，

∴。

∵，∴當(dāng)x= 時，S（max）= 。

【考點(diǎn)】旋轉(zhuǎn)問題，全等三角形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值，由實(shí)際問題列函數(shù)關(guān)系式，二次函數(shù)最值。


練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

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如圖，將菱形ABCD沿對角線AC剪開，再把△ACD沿CA方向平移得到△A1C1D1，連結(jié)AD1、BC1．若∠ACB=30°，AB=2，CC1=x，△ACD與△A1C1D1重疊部分的面積為s，則下列結(jié)論：

①△A1AD1≌△CC1B；

②當(dāng)四邊形ABC1D1是矩形時，x=；

③當(dāng)x=2時，△BDD1為等腰直角三角形；

④（0＜x＜）。

其中正確的是　  　（填序號）。

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 如圖，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4．動點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿AC向終點(diǎn)C運(yùn)動，同時動點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿BA向點(diǎn)A運(yùn)動，到達(dá)A點(diǎn)后立刻以原來的速度沿AB返回．點(diǎn)P、Q運(yùn)動速度均為每秒1個單位長度，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)C時停止運(yùn)動，點(diǎn)Q也同時停止．連接PQ，設(shè)運(yùn)動時間為t（t >0）秒．

（1）求線段AC的長度；

（2）當(dāng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B向點(diǎn)A運(yùn)動時（未到達(dá)A點(diǎn)），求△APQ的面積S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出t的取值范圍；

（3）伴隨著P、Q兩點(diǎn)的運(yùn)動，線段PQ的垂直平分線為l：

①當(dāng)l經(jīng)過點(diǎn)A時，射線QP交AD于點(diǎn)E，求AE的長；

②當(dāng)l經(jīng)過點(diǎn)B時，求t的值．

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已知：如圖一，拋物線與x軸正半軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，直線經(jīng)過A、C兩點(diǎn)，且AB=2.

（1）求拋物線的解析式；

（2）若直線DE平行于x軸并從C點(diǎn)開始以每秒1個單位的速度沿y軸正方向平移，且分別交y軸、線段BC于點(diǎn)E,D，同時動點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿BO方向以每秒2個單位速度運(yùn)動，（如圖2）；當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到原點(diǎn)O時，直線DE與點(diǎn)P都停止運(yùn)動，連DP，若點(diǎn)P運(yùn)動時間為t秒 ；設(shè)，當(dāng)t 為何值時，s有最小值，并求出最小值。

（3）在（2）的條件下，是否存在t的值，使以P、B、D為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似；若存在，求t的值；若不存在，請說明理由。

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如圖，已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A、B和點(diǎn)C．連接AC，有兩動點(diǎn)P、Q同時從點(diǎn)O出發(fā)，其中點(diǎn)P以每秒3個單位長度的速度沿折線OAC按O→A→C的路線運(yùn)動，點(diǎn)Q以每秒8個單位長度的速度沿折線OCA按O→C→A的路線運(yùn)動，當(dāng)P、Q兩點(diǎn)相遇時，它們都停止運(yùn)動，設(shè)P、Q同時從點(diǎn)O出發(fā)t秒時，△OPQ的面積為S．

（1）請求出S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量t的取值范圍；

（2）設(shè)S0是②中函數(shù)S的最大值，求出S0的值．

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如圖，已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)A，B及原點(diǎn)O，頂點(diǎn)為C，直線OB為，點(diǎn)P是拋物線上的動點(diǎn)，過點(diǎn)P作PM⊥x軸，垂足為M，是否存在點(diǎn)P，使得以P，M，A為頂點(diǎn)的三角形與△BOC相似？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

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如圖，已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝2，AB＝8，CD＝10．

（1）求梯形ABCD的面積；

（2）動點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，以2個單位/s的速度沿B→A→D→C方向向點(diǎn)C運(yùn)動；動點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，以2個單位/s的速度沿C→D→A方向向點(diǎn)A運(yùn)動；過點(diǎn)Q作QE⊥BC于點(diǎn)E．若P、Q兩點(diǎn)同時出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時間為t秒．問：

①當(dāng)點(diǎn)P在B→A上運(yùn)動時，是否存在這樣的t，使得直線PQ將梯形ABCD的周長平分？若存在，請求出t的值，并判斷此時PQ是否平分梯形ABCD的面積；若不存在，請說明理由．

②在運(yùn)動過程中，是否存在這樣的t，使得以P、D、Q為頂點(diǎn)的三角形恰好是以DQ為一腰的等腰三角形？若存在，請求出所有符合條件的t的值；若不存在，請說明理由．

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如圖, 在Rt△ABC中，∠C＝90º, AC＝9，BC＝12，動點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿邊AC向點(diǎn)C以每秒1個單位長度的速度運(yùn)動，動點(diǎn)Q從點(diǎn)C開始沿邊CB向點(diǎn)B以每秒2個單位長度的速度運(yùn)動，過點(diǎn)P作PD∥BC，交AB于點(diǎn)D，連接PQ. 點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)A、C同時出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時間為t秒（t≥0）.

（1）直接用含t的代數(shù)式分別表示：QB＝__________, PD＝___________；

（2）是否存在t的值，使四邊形PDBQ為平行四邊形？若存在，求出t的值；若不存在，說明理由；

（3）是否存在t的值，使四邊形PDBQ為菱形？若存在，求出t的值；若不存在，說明理由.并探究如何改變點(diǎn)Q的速度（勻速運(yùn)動），使四邊形PDBQ在某一時刻成為菱形，求點(diǎn)Q的速度.

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【問題情境】如圖1，四邊形ABCD是正方形，M是BC邊上的一點(diǎn)，E是CD邊的中點(diǎn)，AE平分∠DAM．

【探究展示】

（1）證明：AM=AD+MC；

（2）AM=DE+BM是否成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由．

【拓展延伸】

（3）若四邊形ABCD是長與寬不相等的矩形，其他條件不變，如圖2，探究展示（1）、（2）中的結(jié)論是否成立？請分別作出判斷，不需要證明．

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