Question

如圖，已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝2，AB＝8，CD＝10．

（1）求梯形ABCD的面積；

（2）動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，以2個(gè)單位/s的速度沿B→A→D→C方向向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)；動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，以2個(gè)單位/s的速度沿C→D→A方向向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)；過點(diǎn)Q作QE⊥BC于點(diǎn)E．若P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．問：

①當(dāng)點(diǎn)P在B→A上運(yùn)動(dòng)時(shí)，是否存在這樣的t，使得直線PQ將梯形ABCD的周長(zhǎng)平分？若存在，請(qǐng)求出t的值，并判斷此時(shí)PQ是否平分梯形ABCD的面積；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

②在運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在這樣的t，使得以P、D、Q為頂點(diǎn)的三角形恰好是以DQ為一腰的等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出所有符合條件的t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

（1）40；（2）①不存在；②或或.

【解析】

∵AD∥BH，DH∥AB，∴四邊形ABHD是平行四邊形．∴DH=AB=8；BH=AD=2．

∵CD=10，∴HC=，∴BC=BH+CH=8，

∴S_ABCD=（AD+BC）AB=×（2+8）×8=40．

=，

所以PQ不平分梯形ABCD的面積；

②第一種情況：當(dāng)0≤t≤4時(shí)．過Q點(diǎn)作QH⊥AB，垂足為H．

解得：，（不合題意舍去），

∴，

∴第二種情況：4≤t＜5時(shí)．DP=DQ=10﹣2t．

∴當(dāng)4≤t＜5時(shí)，以DQ為腰的等腰△DPQ恒成立．

第三種情況：5＜t≤6時(shí)．DP=DQ=2t﹣10．

∴當(dāng)5＜t≤6時(shí)，以DQ為腰的等腰△DPQ恒成立．

綜上所述，或4≤t＜5或5＜t≤6時(shí)，以DQ為腰的等腰△DPQ成立．

考點(diǎn)：1．直角梯形；2．等腰直角三角形；3．動(dòng)點(diǎn)型．