Question

如圖，已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)A，B及原點(diǎn)O，頂點(diǎn)為C，直線OB為，點(diǎn)P是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PM⊥x軸，垂足為M，是否存在點(diǎn)P，使得以P，M，A為頂點(diǎn)的三角形與△BOC相似？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

解：存在。

      

①若點(diǎn)P在第一象限，則，即，解得：x₁=2，x₂=。

均不合題意。

②若點(diǎn)P在第二象限，則，即，解得：x₁=，x₂=2（不合題意，舍去）。

當(dāng)x=時(shí)，y=，即P（，）。

③若點(diǎn)P在第四象限，則，即，解得：x₁=2，x₂=。均不合題意。

（2）若△PMA∽△BOC，則，

①若點(diǎn)P在第一象限，則，即，解得：x₁=3，x₂=2（不合題意，舍去）。

當(dāng)x=3時(shí)，y=3，即P（3，3）。

②若點(diǎn)P在第二象限，則，即，解得：x₁=，x₂=2（不合題意，舍去）。

當(dāng)x=時(shí)，y=15，即P（，15）。

③若點(diǎn)P在第四象限，則，即，解得：x₁=，x₂=2。均不合題意。

綜上所述，符合條件的點(diǎn)P有兩個(gè)，分別是P（，）或（3，3）或（，15）。

【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題，曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，二次函數(shù)的性質(zhì)，勾股定理和逆定理，相似三角形的性質(zhì)，分類思想的應(yīng)用。