【題目】如圖1所示,雙曲線y= (k≠0)與拋物線y=ax2+bx(a≠0)交于A、B、C三點,已知B(4,2),C(-2,-4),直線CO交雙曲線于另一點D,拋物線與x軸交于另一點E.

(1)求雙曲線和拋物線的解析式;

(2)在拋物線上是否存在點P,使得∠POE+BCD=90°?若存在,請求出滿足條件的點P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由;

(3)如圖2所示,過點B作直線LOB,過點DDFLF,BDOF交于點P,的值.

【答案】1雙曲線的解析式為y=,拋物線的解析式為y= ;(2滿足條件的P點有一個(18,-54);(3

【解析】試題分析:

1)把點B、C的坐標(biāo)分別代入反比例函數(shù)和拋物線的解析式用待定系數(shù)法即可求得兩個函數(shù)的解析式了;

(2)連接BD,由點C的坐標(biāo)可得直線OC的解析式為y=2x,及直線OC與的另一個交點D的坐標(biāo)為(2,4),結(jié)合點B的坐標(biāo)可得BC= ,DB= ,CD= ,由此根據(jù)勾股定理的逆定理可得∠CBD=90°tan BDC=,再證∠POE=BDC即可

得到tan∠POE=3從而說明點P在直線y=3xy=-3x上,結(jié)合點P又在拋物線上,即可分兩種情況進行討論求出點P的坐標(biāo)了;

3)如圖2,由點B的坐標(biāo)可得直線OB的解析式為y= ,lOB且過點B可求得l的解析式為y=-2x+10,DFOB結(jié)合點D的坐標(biāo)可求得直線DF的解析式為y=x+3,這樣由lDF的解析式可求得點F的坐標(biāo),這樣就可得求得DF的長了,結(jié)合OB的長和DFOB即可由平行線分線段成比例求得的值了.

試題解析:

(1)B(4,2)代人y= (k≠0)2=,解得k=8z,

∴雙曲線的解析式為y=,

B(4,2),C(-2,-4)代入y=ax2+bx得,

,

,

∴拋物線的解析式為y= ;

(2)連接DB,

C(-2,-4),

∴直線OC的解析式為y=2xy= 的另一個交點D(2,4),

∴由兩點間距離公式得BC= ,DB= ,CD=

BC2+DB2=CD2,

∴∠CBD=90°

tan BDC=.

∵∠POE+BCD=90°,BCD+BDC=90°,

∴∠POE=BDC.tanPOE=3.

P在直線y=3xy=-3x,故有兩種情況:

解得(0,0)()(-6,-18)();

,

解得(0,0)()(18,-54)

故可得出滿足條件的P點有一個(18,-54);

(3)B(4,2)可得直線OB解析式y=

OBl可得l的解析式為y=-2x+b1,(4,2)代入求出b1=10,

l的解析式為y=-2x+10,

DFl,OBl可得DFOB,

∴可設(shè)DF解析式y= x+b2,D(24)代入得b2=3.

DF的解析式為y=x+3,

DF的解析式與l的解析式聯(lián)立可得:

解得:

,

DF= OB=

.DFOB,

.

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1)求出點A、BC的坐標(biāo);

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