【題目】已知直線 y=kx+b(k≠0)過點 F(0,1),與拋物線 相交于B、C 兩點
(1)如圖 1,當點 C 的橫坐標為 1 時,求直線 BC 的解析式;
(2)在(1)的條件下,點 M 是直線 BC 上一動點,過點 M 作 y 軸的平行線,與拋物線交于點 D, 是否存在這樣的點 M,使得以 M、D、O、F 為頂點的四邊形為平行四邊形?若存在,求出點 M 的坐標;若不存在,請說明理由;
(3)如圖 2,設 B(m,n)(m<0),過點 E(0,-1)的直線 l∥x 軸,BR⊥l 于 R,CS⊥l 于 S,連接 FR、FS.試判斷△ RFS 的形狀,并說明理由.
【答案】(1);(2)存在;M點坐標為:(-3,),,;(3)△RFS是直角三角形;證明見詳解.
【解析】
(1)首先求出C的坐標,然后由C、F兩點用待定系數法求解析式即可;
(2)因為DM∥OF,要使以M、D、O、F為頂點的四邊形為平行四邊形,則DM=OF,設M(x,),則D(x,x2),表示出DM,分類討論列方程求解;
(3)根據勾股定理求出BR=BF,再由BR∥EF得到∠RFE=∠BFR,同理可得∠EFS=∠CFS,所以∠RFS=∠BFC=90°,所以△RFS是直角三角形.
解:(1)因為點C在拋物線上,所以C(1,),
又∵直線BC過C、F兩點,
故得方程組:
解之,得,
所以直線BC的解析式為:;
(2)存在;理由如下:
要使以M、D、O、F為頂點的四邊形為平行四邊形,則MD=OF,如圖1所示,
設M(x,),則D(x,x2),
∵MD∥y軸,
∴,
由MD=OF,可得:;
①當時,
解得:x1=0(舍)或x1=-3,
所以M(-3,);
②當時,
解得:,
所以M或M,
綜上所述,存在這樣的點M,使以M、D、O、F為頂點的四邊形為平行四邊形,
M點坐標為:(-3,),,;
(3)△RFS是直角三角形;理由如下:
過點F作FT⊥BR于點T,如圖2所示,
∵點B(m,n)在拋物線上,
∴m2=4n,
在Rt△BTF中,
,
∵n>0,
∴BF=n+1,
又∵BR=n+1,
∴BF=BR.
∴∠BRF=∠BFR,
又∵BR⊥l,EF⊥l,
∴BR∥EF,
∴∠BRF=∠RFE,
∴∠RFE=∠BFR,
同理可得∠EFS=∠CFS,
∴∠RFS=∠BFC=90°,
∴△RFS是直角三角形.
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【題目】【閱讀理解】
若, , 為數軸上三點,若點到的距離是點到的距離的倍,我們就稱點是的優(yōu)點.例如,如圖①,點表示的數為,點表示的數為.表示數的點到點的距離是,到點的距離是,那么點是的優(yōu)點;又如,表示的點到點的距離是,到點的距離是,那么但點是的好點.
【知識運用】
如圖②,、為數軸上兩點,點所表示的數為,點所表示的數為.
()數__________所表示的點是的優(yōu)點.
()如圖③,, 為數軸上兩點,點所表示的數為,點所表示的數為.現有一只電子螞蟻從點出發(fā),以個單位每秒的速度向左運動,到達點停止.當為何值時, 、和中恰有一個點為其余兩點的好點?(請直接寫出答案)
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【題目】在平面直角坐標系xOy中,對于任意三點A,B,C,給出如下定義:如果矩形的任何一條邊均與某條坐標軸平行,且A,B,C三點都在矩形的內部或邊界上,則稱該矩形為點A,B,C的覆蓋矩形.點A,B,C的所有覆蓋矩形中,面積最小的矩形稱為點A,B,C的最優(yōu)覆蓋矩形.例如,下圖中的矩形A1B1C1D1,A2B2C2D2,AB3C3D3都是點A,B,C的覆蓋矩形,其中矩形AB3C3D3是點A,B,C的最優(yōu)覆蓋矩形.
(1)已知A(2,3),B(5,0),C(, 2).
①當時,點A,B,C的最優(yōu)覆蓋矩形的面積為 ;
②若點A,B,C的最優(yōu)覆蓋矩形的面積為40,則t的值為 ;
(2)已知點D(1,1),點E(, ),其中點E是函數的圖像上一點,⊙P是點O,D,E的一個面積最小的最優(yōu)覆蓋矩形的外接圓,求出⊙P的半徑r的取值范圍.
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【題目】閱讀下列材料,完成任務:
自相似圖形
定義:若某個圖形可分割為若干個都與它相似的圖形,則稱這個圖形是自相似圖形.例如:正方形ABCD中,點E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA邊的中點,連接EG,HF交于點O,易知分割成的四個四邊形AEOH、EBFO、OFCG、HOGD均為正方形,且與原正方形相似,故正方形是自相似圖形.
任務:
(1)圖1中正方形ABCD分割成的四個小正方形中,每個正方形與原正方形的相似比為 ;
(2)如圖2,已知△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,BC=3,小明發(fā)現△ABC也是“自相似圖形”,他的思路是:過點C作CD⊥AB于點D,則CD將△ABC分割成2個與它自己相似的小直角三角形.已知△ACD∽△ABC,則△ACD與△ABC的相似比為 ;
(3)現有一個矩形ABCD是自相似圖形,其中長AD=a,寬AB=b(a>b).
請從下列A、B兩題中任選一條作答:我選擇 題.
A:①如圖3﹣1,若將矩形ABCD縱向分割成兩個全等矩形,且與原矩形都相似,則a= (用含b的式子表示);
②如圖3﹣2若將矩形ABCD縱向分割成n個全等矩形,且與原矩形都相似,則a= (用含n,b的式子表示);
B:①如圖4﹣1,若將矩形ABCD先縱向分割出2個全等矩形,再將剩余的部分橫向分割成3個全等矩形,且分割得到的矩形與原矩形都相似,則a= (用含b的式子表示);
②如圖4﹣2,若將矩形ABCD先縱向分割出m個全等矩形,再將剩余的部分橫向分割成n個全等矩形,且分割得到的矩形與原矩形都相似,則a= (用含m,n,b的式子表示).
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【題目】已知一個三角形的第一條邊為2a 5b ,第二條邊比第一條邊長3a 2b ,第三條邊比第二條邊短3a 。
(1)則第二條邊的邊長為 ,第三條邊的邊長為 ;
(2)用含a , b 的代數式表示這個三角形的周長,并化簡;
(3)若a , b 滿足 |a 4| (b 3)2 0,求這個三角形的周長。
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【題目】如圖,已知直線y=x與反比例函數y=(x>0)的圖象交于點A(2,m);將直線y=x向下平移后與反比例函數y=(x>0)的圖象交于點B,且△AOB的面積為3.
(1)求k的值;
(2)求平移后所得直線的函數表達式.
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【題目】如圖1所示,雙曲線y= (k≠0)與拋物線y=ax2+bx(a≠0)交于A、B、C三點,已知B(4,2),C(-2,-4),直線CO交雙曲線于另一點D,拋物線與x軸交于另一點E.
(1)求雙曲線和拋物線的解析式;
(2)在拋物線上是否存在點P,使得∠POE+∠BCD=90°?若存在,請求出滿足條件的點P的坐標;若不存在,請說明理由;
(3)如圖2所示,過點B作直線L⊥OB,過點D作DF⊥L于F,BD與OF交于點P,求的值.
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