Question

如圖，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為8cm，∠BAD=120°，半徑為

3

cm的⊙O在其內(nèi)部逆時(shí)針連續(xù)滾動(dòng)，且總是保持與菱形ABCD的邊相切，當(dāng)⊙O第一次回到起始位置時(shí)，圓心O所走過的路程長(zhǎng)度為

 

cm．

Answer 1

考點(diǎn)：軌跡

專題：

分析：求得當(dāng)⊙O和∠B的兩邊相切到與∠C的兩邊相切時(shí)，兩種情況下兩個(gè)切點(diǎn)之間的距離，即圓心移動(dòng)的距離，則滾動(dòng)一周的路程即可求解．

解答：解：當(dāng)圓在⊙O的位置是，連接OB，連接O和切點(diǎn)E．
∵菱形ABCD中，∠BAD=120°，
∴∠ABC=60°，
∴∠OBE=30°，
∴BE=

OE

tan∠OBE

=

3

3 3

=3（cm）；
當(dāng)⊙O在⊙O'時(shí)，∠O'CF=60°，
則CF=

O′F

tan∠O′CF

=

3

tan60°

=1（cm），
則EF=8-3-1=4（cm），
則當(dāng)⊙O第一次回到起始位置時(shí)，圓心O所走過的路程長(zhǎng)度為4×4=16（cm）．
故答案是：16．

點(diǎn)評(píng)：本題考查切線長(zhǎng)定理以及三角函數(shù)，正確求得BE和CF的長(zhǎng)度是關(guān)鍵．