【題目】已知四邊形ABCD中,EF分別是AB、AD邊上的點(diǎn),DE與CF交于點(diǎn)G.
(1)如圖1,若四邊形ABCD是正方形,且DE⊥CF,求證:DE=CF;

(2)如圖2,若四邊形ABCD是矩形,且DE⊥CF,求證: = ;

(3)如圖3,若四邊形ABCD是平行四邊形,當(dāng)∠B=∠EGF時(shí),第(2)問(wèn)的結(jié)論是否成立?若成立給予證明;若不成立,請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】
(1)證明:∵四邊形ABCD是正方形,

∴∠A=∠ADC=90°,AD=DC,

∴∠ADE+∠AED=90°,

∵DE⊥CF,

∴∠ADE+∠CFD=90°,

∴∠AED=∠CFD,

∴△ADE≌△DCF,

∴DE=CF


(2)證明:∵四邊形ABCD是矩形,

∴∠A=∠ADC=90°,

∵DE⊥CF,

∴∠ADE+∠CFD=90°,∠DCF+∠CFD=90°,

∴∠ADE=∠DCF,

∴△ADE∽△DCF,

=


(3)解:當(dāng)∠B=∠EGF時(shí), = 成立,

證明:如圖3,在AD的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)M,使CM=CF,

則∠CMF=∠CFM,

∵AB∥CD,

∴∠A=∠CDM,

∵AD∥BC,

∴∠B+∠A=180°,

∵∠B=∠EGF,

∴∠EGF+∠A=180°,

∴∠AED=∠CFM=∠CMF,

∴△ADE∽△DCM,

= ,即 =


【解析】(1)依據(jù)正方形的性質(zhì)可得到∠A=∠ADC=90°,AD=DC,然后再依據(jù)同角的余角相等可證明∠AED=∠CFD,最后,在依據(jù)AAS證明△ADE≌△DCF,最后,利用全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等進(jìn)行證明即可;
(2)依據(jù)矩形的性質(zhì)可得到∠A=∠ADC=90°,然后再依據(jù)同角的余角相等可證明∠ADE=∠DCF,接下來(lái),利用兩對(duì)角相等的三角形相似得到三角形ADE與三角形DCF相似,最后,利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例進(jìn)行證明即可;
(3)在AD的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)M,使CM=CF,先證明△ADE∽△DCM,然后再利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例進(jìn)行證明即可.
【考點(diǎn)精析】利用相似三角形的判定與性質(zhì)對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案,需要熟知相似三角形的一切對(duì)應(yīng)線段(對(duì)應(yīng)高、對(duì)應(yīng)中線、對(duì)應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等)的比等于相似比;相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比;相似三角形面積的比等于相似比的平方.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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A.1<k<9
B.2≤k≤34
C.1≤k≤16
D.4≤k<16

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(1)畫(huà)出△ABC關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)圖形△A1B1C1(不寫(xiě)畫(huà)法);

點(diǎn)A關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)坐標(biāo)為   

點(diǎn)B關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)坐標(biāo)為   

點(diǎn)C關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)坐標(biāo)為   

(2)若網(wǎng)格上的每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1,則△ABC的面積是   

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【題目】若直線l1經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,4),l2經(jīng)過(guò)(3,2),且l1l2關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng),則l1l2的交點(diǎn)坐標(biāo)為

A. (-2,0) B. (2,0) C. (-6,0) D. (6,0)

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【題目】某市為節(jié)約水資源,制定了新的居民用水收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn).按照新標(biāo)準(zhǔn),用戶(hù)每月繳納的水費(fèi)y(元)與每月用水量x(m3)之間的關(guān)系如圖所示.

(1)求y關(guān)于x的函數(shù)解析式;

(2)若某用戶(hù)二、三月份共用水40m3(二月份用水量不超過(guò)25m3),繳納水費(fèi)79.8元,則該用戶(hù)二、三月份的用水量各是多少m3?

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(1)家與圖書(shū)館之間的路程為多少m,小玲步行的速度為多少m/min;

(2)求小東離家的路程y關(guān)于x的函數(shù)解析式,并寫(xiě)出自變量的取值范圍;

(3)求兩人相遇的時(shí)間.

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(1)當(dāng)時(shí),在圖1中畫(huà)出草圖,并求出對(duì)應(yīng)的值;

(2)利用備用圖畫(huà)出草圖,寫(xiě)出之間的關(guān)系式.

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A.③④
B.②④
C.②③
D.①④

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