【題目】如圖,ABC內(nèi)接于⊙O,半徑BOAC相交于點(diǎn)D,BO的延長(zhǎng)線與⊙O交于點(diǎn)F,與過(guò)點(diǎn)C的切線NC交于點(diǎn)M,過(guò)點(diǎn)DDEBC,垂足為E,連接CF,已知MF=FC

1)求證:∠M=30°;

2)①若=,求的值;

②當(dāng)DEC的面積是它最大值的時(shí),求的值.

3)若DE=AB,試判斷點(diǎn)D所在的位置.(請(qǐng)直接寫出答案)

【答案】1)證明見解析.(2)①=,②=.(3)點(diǎn)D與點(diǎn)O重合.

【解析】

1)連接OC,只要證明FOC是等邊三角形即可解決問(wèn)題.
2)①設(shè)OB=r,則DC=OB=r.作CHBF于點(diǎn)H.想辦法求出OD,OB即可解決問(wèn)題.
②設(shè)⊙O的半徑為r,DE=x,DEC的面積為s.構(gòu)建二次函數(shù),利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決問(wèn)題即可.
3)連接OA.作OGABG.由GOB≌△EDCAAS),推出OB=CD=OC,由∠BOC=OCM+M90°,推出D,O,C三點(diǎn)無(wú)法構(gòu)成等腰三角形,推出點(diǎn)D與點(diǎn)O重合.

解:(1)連接OC

MN是切線,

∴∠MCO=90°,

∴∠MOC+M=90°=FCM+OCF

MF=FC,

∴∠M=FCM

∴∠MOC=OCF,

OF=CF=OC,

∴△FOC是等邊三角形,

∴∠FOC=60°

∴∠M=30°

2)①設(shè)OB=r,則DC=OB=r

CHBF于點(diǎn)H

由(1)可知∠BFC=60°,FC=FO=OB=r,

∴∠FCH=30°,

RtFCH中,FH=FC=CH=r,

OH=r,

RtCDH中,DH2+CH2=CD2,

DH2+r2=r2,

DH=r,

OD=DH-OH=r,∴=

②設(shè)⊙O的半徑為rDE=x,DEC的面積為s

由(1)可知∠B=FOC=30°,

DEBC,

BE=x,由垂徑定理可得BC=r,

s=xr-x=-x2+rx

∴當(dāng)x=r時(shí),s有最大值,最大值=r2

當(dāng)s=×r2=r2時(shí),-x2+rx=r2,

化簡(jiǎn)得到:9x2-9rx+2r2=0,

解得x=rr,

x=DE=BDr

r=r,

RtDEC中,CD2=DE2+EC2=r2+r-r2=r2,

CD=r,

=

3)連接OA.作OGABG

由垂徑定理可知:GB=AB,∠GOB=AOB,

∵∠DCE=AOB,DE=AB,

∴∠GOB=DCE,G=DE,

∵∠DGB=CED=90°

∴△GOB≌△EDCAAS),

OB=CD=OC,

∵∠BOC=OCM+M90°,

D,O,C三點(diǎn)無(wú)法構(gòu)成等腰三角形,

∴點(diǎn)D與點(diǎn)O重合.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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(1)求∠BAC的度數(shù);

(2)當(dāng)點(diǎn)DAB上方,且CDBP時(shí),求證:PC=AC;

(3)在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中

①當(dāng)點(diǎn)A在線段PB的中垂線上或點(diǎn)B在線段PA的中垂線上時(shí),求出所有滿足條件的∠ACD的度數(shù);

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