Question

如圖，△ABC為等邊三角形，點D，E分別在BC，AC邊上，且AE=CD，AD，BE相交于點P，BQ⊥AD于Q，PQ=3，PE=1．
（1）求證：△ABE≌△CAD；
（2）求AD的長．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）根據(jù)AE=CD，AB=AC，∠BAC=∠C即可求得△ABE≌△CAD；
（2）由（1）得∠AEB=∠ADC，即可求得∠BPQ=∠C，即可求得BP的長，即可解題．

解答：解：（1）∵在△ABE和△CAD中，

AB=AC ∠BAE=∠ACD AE=CD

，
∴△ABE≌△CAD，（SAS）
（2）∵△ABE≌△CAD，
∴AD=BE，∠AEB=∠ADC
∵∠DAC+∠ADC+∠ACB=180°，∠DAC+∠AEB+∠APE=180°，
∴∠ACB=∠APE=60°，
∴∠BPQ=60°，
∴∠PBQ=30°，
∴BP=2PQ=6，
∴AD=BE=BP+PE=6+1=7．

點評：本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對應(yīng)邊、對應(yīng)角相等的性質(zhì)，本題中求證△ABE≌△CAD是解題的關(guān)鍵．