Question

如圖，⊙O為Rt△ABC的內(nèi)切圓，∠ACB=90°，若∠BOC=105°，AB=12cm，求BC的長．

Answer 1

考點：三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心

專題：計算題

分析：根據(jù)內(nèi)心的定義得到∠OBC=

1

2

∠ABC，∠OCB=

1

2

∠ACB，即∠OBC+∠OCB=

1

2

（∠ABC+∠ACB），再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可計算出∠OBC+∠OCB=180°-∠BOC=75°，則∠ABC+∠ACB=150°，再利用三角形內(nèi)角和得到∠A=180°-（∠ABC+∠ACB）=30°，然后根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系求解．

解答：解：∵⊙O為Rt△ABC的內(nèi)切圓，
∴OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，
∴∠OBC=

1

2

∠ABC，∠OCB=

1

2

∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB=

1

2

（∠ABC+∠ACB），
∵∠BOC=105°，
∴∠OBC+∠OCB=180°-105°=75°，
即

1

2

（∠ABC+∠ACB）=75°，
∴∠ABC+∠ACB=150°，
∴∠A=180°-（∠ABC+∠ACB）=30°，
∴BC=

1

2

AB=

1

2

×12cm=6cm．

點評：本題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心：與三角形各邊都相切的圓叫三角形的內(nèi)切圓，三角形的內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心，這個三角形叫做圓的外切三角形．三角形的內(nèi)心就是三角形三個內(nèi)角角平分線的交點．