【題目】如圖,在Rt△ABC中,AC=8cm,BC=6cm,P點(diǎn)在BC上,從B點(diǎn)到C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)(不包括 C點(diǎn)),點(diǎn) P運(yùn)動(dòng)的速度為1cm/s;Q點(diǎn)在AC上從C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)(不包括A點(diǎn)),速度為2cm/s,若點(diǎn) P、Q 分別從B、C 同時(shí)運(yùn)動(dòng),且運(yùn)動(dòng)時(shí)間記為t秒,請(qǐng)解答下面的問(wèn)題,并寫出探索的主要過(guò)程.
(1)當(dāng) t 為何值時(shí),P、Q 兩點(diǎn)的距離為 4cm?
(2)請(qǐng)用配方法說(shuō)明,點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)多少時(shí)間時(shí),四邊形BPQA的面積最?最小面積是多少?
【答案】(1) 2或;(2) 3秒,15cm2.
【解析】
(1)根據(jù)勾股定理PC2+CQ2=PQ2,便可求出經(jīng)過(guò)2或s后,P、Q兩點(diǎn)的距離為4cm;(2)根據(jù)三角形的面積公式S△PCQ=×PC×CQ以及二次函數(shù)最值便可求出t=1.75s時(shí)△PCQ的面積最大,進(jìn)而求出四邊形BPQA的面積最小值.
:(1)∵在Rt△ABC中,AC=8cm,BC=6cm,
∴AB=10cm,
設(shè)經(jīng)過(guò)ts后,P、Q兩點(diǎn)的距離為4cm,
ts后,PC=6-t cm,CQ=2t cm,
根據(jù)勾股定理可知PC2+CQ2=PQ2,
代入數(shù)據(jù)(6-t)2+(2t)2=(4)2;
解得t=2或t=,
故t為2或時(shí),P、Q兩點(diǎn)的距離為4cm;
(2)設(shè)經(jīng)過(guò)ts后,△PCQ的面積最大,則此時(shí)四邊形BPQA的面積最小,
ts后,PC=6-tcm,CQ=2t cm,
S△PCQ=×PC×CQ=×(6-t)×2t=-t2+6t
當(dāng)t=-時(shí),即t=3s時(shí),△PCQ的面積最大,
即S△PCQ=
×PC×CQ=×(6-3)×6=9(cm2),
∴四邊形BPQA的面積最小值為:S△ABC-S△PCQ最大=×6×8-9=15(cm2),
當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)3秒時(shí),四邊形BPQA的面積最小為:15cm2.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在等腰三角形ABC中,AB=AC,AH⊥BC,點(diǎn)E是AH上一點(diǎn),延長(zhǎng)AH至點(diǎn)F,使FH=EH.
(1)求證:四邊形EBFC是菱形;
(2)如果∠BAC=∠ECF,求證:AC⊥CF.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,E是AC邊上的一點(diǎn),且AE=AB,∠BAC=2∠CBE,以AB為直徑作⊙O交AC于點(diǎn)D,交BE于點(diǎn)F.
(1)求證:BC是⊙O的切線;
(2)若AB=8,BC=6,求DE的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某公司生產(chǎn)的某種產(chǎn)品每件成本為40元,經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查整理出如下信息:
①該產(chǎn)品90天內(nèi)日銷售量(m件)與時(shí)間(第x天)滿足一次函數(shù)關(guān)系,部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表:
時(shí)間(第x天) | 1 | 3 | 6 | 10 | … |
日銷售量(m件) | 198 | 194 | 188 | 180 | … |
②該產(chǎn)品90天內(nèi)每天的銷售價(jià)格與時(shí)間(第x天)的關(guān)系如下表:
時(shí)間(第x天) | 1≤x<50 | 50≤x≤90 |
銷售價(jià)格(元/件) | x+60 | 100 |
(1)求m關(guān)于x的一次函數(shù)表達(dá)式;
(2)設(shè)銷售該產(chǎn)品每天利潤(rùn)為y元,請(qǐng)寫出y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式,并求出在90天內(nèi)該產(chǎn)品哪天的銷售利潤(rùn)最大?最大利潤(rùn)是多少?【提示:每天銷售利潤(rùn)=日銷售量×(每件銷售價(jià)格-每件成本)】
(3)在該產(chǎn)品銷售的過(guò)程中,共有多少天銷售利潤(rùn)不低于5400元,請(qǐng)直接寫出結(jié)果.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,直線y=﹣4x+4與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn),以AB為邊在第一象限作正方形ABCD,將正方形ABCD沿x軸負(fù)方向平移a個(gè)單位長(zhǎng)度后,點(diǎn)C恰好落在雙曲線在第一象限的分支上,則a的值是_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在Rt△ABC中,,AD平分∠BAC,交BC于點(diǎn)D,點(diǎn)O在AB上,⊙O經(jīng)過(guò)A、D兩點(diǎn),交AC于點(diǎn)E,交AB于點(diǎn)F.
(1)求證:BC是⊙O的切線;
(2)若⊙O的半徑是2cm,E是弧AD的中點(diǎn),求陰影部分的面積(結(jié)果保留π和根號(hào))
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】(數(shù)學(xué)概念)
若等邊三角形的三個(gè)頂點(diǎn)D、E、F分別在△ABC的三條邊上,我們稱等邊三角形DEF是△ABC的內(nèi)接正三角形.
(概念辨析)
(1)下列圖中△DEF均為等邊三角形,則滿足△DEF是△ABC的內(nèi)接正三角形的是 .
A. B.
C.
(操作驗(yàn)證)
(2)如圖①.在△ABC中,∠B=60°,D為邊AB上一定點(diǎn)(BC>BD),DE=DB,EM平分∠DEC,交邊AC于點(diǎn)M,△DME的外接圓與邊BC的另一個(gè)交點(diǎn)為N.
求證:△DMN是△ABC的內(nèi)接正三角形.
(知識(shí)應(yīng)用)
(3)如圖②.在△ABC中,∠B=60°,∠A=45°,BC=2,D是邊AB上的動(dòng)點(diǎn),若邊BC上存在一點(diǎn)E,使得以DE為邊的等邊三角形DEF是△ABC的內(nèi)接正三角形.設(shè)△DEF的外接圓⊙O與邊BC的另一個(gè)交點(diǎn)為K,則DK的最大值為 ,最小值為 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,BD是角平分線,點(diǎn)O在AB上,以點(diǎn)O為圓心,OB為半徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)D,交BC于點(diǎn)E.
(1)求證:AC是⊙O的切線;
(2)若OB=10,CD=,求圖中陰影部分的面積.
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