Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD是角平分線，點O在AB上，以點O為圓心，OB為半徑的圓經(jīng)過點D，交BC于點E．

（1）求證：AC是⊙O的切線；

（2）若OB=10，CD=，求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）．

【解析】

（1）連接OD，由BD為角平分線得到一對角相等，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出一對內(nèi)錯角相等，進而確定出OD與BC平行，利用兩直線平行同位角相等得到∠ODA為直角，即可得證；
（2）過O作OG垂直于BE，可得出四邊形ODCG為矩形，利用勾股定理求出BG的長，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

（1）證明：連接OD，如圖，∵BD為∠ABC平分線，∴∠1=∠2．

∵OB=OD，∴∠1=∠3，∴∠2=∠3，∴OD∥BC．

∵∠C=90°，∴∠ODA=90°，∴AC是⊙O的切線；

（2）過O作OG⊥BC，連接OE，則四邊形ODCG為矩形，∴GC=OD=OB=10，OG=CD=．在Rt△OBG中，利用勾股定理得：BG=5，∴BE=10，則△OBE是等邊三角形，∴陰影部分面積為．