Question

如圖（1），在平面直角坐標系中，點A（0，﹣6），點B（6，0）．Rt△CDE中，∠CDE=90°，CD=4，DE=4，直角邊CD在y軸上，且點C與點A重合．Rt△CDE沿y軸正方向平行移動，當點C運動到點O時停止運動．解答下列問題：

（1）如圖（2），當Rt△CDE運動到點D與點O重合時，設CE交AB于點M，求∠BME的度數(shù)．

（2）如圖（3），在Rt△CDE的運動過程中，當CE經(jīng)過點B時，求BC的長．

（3）在Rt△CDE的運動過程中，設AC=h，△OAB與△CDE的重疊部分的面積為S，請寫出S與h之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出面積S的最大值．

 

 

Answer 1

（1）∠BME=15°；

（2BC=4；

（3）h≤2時，S=﹣h2+4h+8，

當h≥2時，S=18﹣3h．

【解析】

試題分析：（1）如圖2，由對頂角的定義知，∠BME=∠CMA，要求∠BME的度數(shù)，需先求出∠CMA的度數(shù)．根據(jù)三角形外角的定理進行解答即可；

（2）如圖3，由已知可知∠OBC=∠DEC=30°，又OB=6，通過解直角△BOC就可求出BC的長度；

（3）需要分類討論：①h≤2時，如圖4，作MN⊥y軸交y軸于點N，作MF⊥DE交DE于點F，S=S△EDC﹣S△EFM；②當h≥2時，如圖3，S=S△OBC．

試題解析：【解析】
（1）如圖2，

∵在平面直角坐標系中，點A（0，﹣6），點B（6，0）．

∴OA=OB，

∴∠OAB=45°，

∵∠CDE=90°，CD=4，DE=4，

∴∠OCE=60°，

∴∠CMA=∠OCE﹣∠OAB=60°﹣45°=15°，

∴∠BME=∠CMA=15°；

如圖3，

∵∠CDE=90°，CD=4，DE=4，

∴∠OBC=∠DEC=30°，

∵OB=6，

∴BC=4；

（3）①h≤2時，如圖4，作MN⊥y軸交y軸于點N，作MF⊥DE交DE于點F，

∵CD=4，DE=4，AC=h，AN=NM，

∴CN=4﹣FM，AN=MN=4+h﹣FM，

∵△CMN∽△CED，

∴，

∴，

解得FM=4﹣，

∴S=S△EDC﹣S△EFM=×4×4﹣（44﹣h）×（4﹣）=﹣h2+4h+8，

②如圖3，當h≥2時，

S=S△OBC=OC×OB=（6﹣h）×6=18﹣3h．

考點：1、三角形的外角定理；2、相似；3、解直角三角形