【題目】如圖,拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A,B,C,已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為(﹣3,0),點(diǎn)B坐標(biāo)為(1,0),點(diǎn)C在y軸的正半軸,且∠CAB=30°.

(1)求拋物線的函數(shù)解析式;
(2)若直線l:y= x+m從點(diǎn)C開始沿y軸向下平移,分別交x軸、y軸于點(diǎn)D、E.
①當(dāng)m>0時(shí),在線段AC上否存在點(diǎn)P,使得點(diǎn)P,D,E構(gòu)成等腰直角三角形?若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
②以動(dòng)直線l為對稱軸,線段AC關(guān)于直線l的對稱線段A′C′與二次函數(shù)圖象有交點(diǎn),請直接寫出m的取值范圍.

【答案】
(1)

解:如圖1,連結(jié)AC,在Rt△AOC中,∠CAB=30°,

∵A(﹣3,0),即OA=3,

∴OC= ,即C(0, ),

設(shè)拋物線解析式為

將A(﹣3,0),B(1,0)代入得

解得


(2)

解:由題意可知,OE=m,OD= ,∠DEO=30°,

(i)如圖2,當(dāng)PD⊥DE,DP=DE,作PQ⊥x軸

∴∠PQD=∠EOD=90°,

∠PDQ+∠EDO=90°,∠EDO+∠DEO=90°,

∴∠DEO=∠PDQ=30°,

在△DPQ與△EDO中,

,

∴△DPQ≌△EDO(AAS),

∴DQ=OE=m,

∵∠PAQ=∠PDQ=30°,

∴PA=PD,

∴AQ=DQ=m,

∴OA=2m+ =3,

(ii)如圖3,當(dāng)PE⊥DE,PE=DE,作PQ⊥y軸,

同理可得CQ=EQ=OD= ,

∴OC=m+ =

;

(iii)如圖4,當(dāng)DP⊥PE,DP=PE,作DM⊥AC,EN⊥AC,

同理可得AP=AD= ,PN=DM= ,CN=

∴AC= + + =

;

②當(dāng)x=0,y= 時(shí), =0+m,解得m= ;

當(dāng)x=0,y=﹣ 時(shí),﹣ =0+m,解得m=﹣

故m的取值范圍為:


【解析】(1)如圖1,連結(jié)AC,在Rt△AOC中,∠CAB=30°,根據(jù)三角函數(shù)可得C(0, ),根據(jù)待定系數(shù)法可求拋物線解析式;(2)①由題意可知,OE=m,OD= ,∠DEO=30°,根據(jù)等腰直角三角形的判定與性質(zhì)分三種情況:(i)如圖2,當(dāng)PD⊥DE,DP=DE,作PQ⊥x軸;(ii)如圖3,當(dāng)PE⊥DE,PE=DE,作PQ⊥y軸;(iii)如圖4,當(dāng)DP⊥DE,DP=PE,作DM⊥AC,EN⊥AC;進(jìn)行討論可求點(diǎn)P的坐標(biāo);②動(dòng)直線l與直線AC的交點(diǎn)為C和動(dòng)直線l與y軸的交點(diǎn)在x軸下面,并且與前面的直線平行,可求m的取值范圍.
【考點(diǎn)精析】利用二次函數(shù)的圖象和二次函數(shù)的性質(zhì)對題目進(jìn)行判斷即可得到答案,需要熟知二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點(diǎn):1、開口方向2、對稱軸 3、頂點(diǎn) 4、與x軸交點(diǎn) 5、與y軸交點(diǎn);增減性:當(dāng)a>0時(shí),對稱軸左邊,y隨x增大而減;對稱軸右邊,y隨x增大而增大;當(dāng)a<0時(shí),對稱軸左邊,y隨x增大而增大;對稱軸右邊,y隨x增大而減。

練習(xí)冊系列答案
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(1)如圖①,當(dāng)點(diǎn)于點(diǎn)重合時(shí),求證:;

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第1次

第2次

第3次

第4次

第5次

甲成績

9

4

7

4

6

乙成績

7

5

7

a

7

(1)a=__,=____;

(2)①分別計(jì)算甲、乙成績的方差.

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