Question

【題目】如圖，拋物線y=x2+bx+c與x軸交于A（﹣1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，頂點(diǎn)M關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)是M′．

（1）求拋物線的解析式；

（2）若直線AM′與此拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為C，求△CAB的面積；

（3）是否存在過A，B兩點(diǎn)的拋物線，其頂點(diǎn)P關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為Q，使得四邊形APBQ為正方形？若存在，求出此拋物線的解析式；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=x2﹣2x﹣3；（2）24；（3）存在，y=（x﹣1）2﹣2或y=﹣（x﹣1）2+2，

【解析】試題分析：（1）根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式；

（2）根據(jù)軸對(duì)稱，可得M′的坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法，可得AM′的解析式，根據(jù)解方程組，可得B點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)三角形的面積公式，可得答案；

（3）根據(jù)正方形的性質(zhì)，可得P、Q點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式．

試題解析：（1）將A、B點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，得，解得，

拋物線的解析式y=﹣2x﹣3；

（2）將拋物線的解析式化為頂點(diǎn)式，得y=﹣4，M點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，﹣4），

M′點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，4），設(shè)AM′的解析式為y=kx+b，

將A、M′點(diǎn)的坐標(biāo)代入，得，解得，AM′的解析式為y=2x+2，

聯(lián)立AM′與拋物線，得，解得，

C點(diǎn)坐標(biāo)為（5，12）．S△ABC=×4×12=24；

（3）存在過A，B兩點(diǎn)的拋物線，其頂點(diǎn)P關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為Q，使得四邊形APBQ為正方形，

由ABPQ是正方形，A（﹣1，0）B（3，0），得P（1，﹣2），Q（1，2），或P（1，2），Q（1，﹣2），

①當(dāng)頂點(diǎn)P（1，﹣2）時(shí)，設(shè)拋物線的解析式為y=a﹣2，將A點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，得

a﹣2=0，解得a=，

拋物線的解析式為y=－2，

②當(dāng)P（1，2）時(shí)，設(shè)拋物線的解析式為y=a+2，將A點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，得

a+2=0，解得a=﹣，拋物線的解析式為y=－+2，

綜上所述：y=－2或y=－+2，使得四邊形APBQ為正方形．