Question

【題目】如圖，已知矩形OABC中，OA=2，AB=4，雙曲線 （k＞0）與矩形兩邊AB、BC分別交于E、F．

（1）若E是AB的中點，求F點的坐標；
（2）若將△BEF沿直線EF對折，B點落在x軸上的D點，作EG⊥OC，垂足為G，證明△EGD∽△DCF，并求k的值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵點E是AB的中點，OA=2，AB=4，

∴點E的坐標為（2，2），

將點E的坐標代入y= ，可得k=4，

即反比例函數(shù)解析式為：y= ，

∵點F的橫坐標為4，

∴點F的縱坐標= =1，

故點F的坐標為（4，1）

（2）

解：由折疊的性質可得：BE=DE，BF=DF，∠B=∠EDF=90°，

∵∠CDF+∠EDG=90°，∠GED+∠EDG=90°，

∴∠CDF=∠GED，

又∵∠EGD=∠DCF=90°，

∴△EGD∽△DCF，

結合圖形可設點E坐標為（ ，2），點F坐標為（4， ），

則CF= ，BF=DF=2﹣ ，ED=BE=AB﹣AE=4﹣ ，

在Rt△CDF中，CD= = = ，

∵ ，即 = ，

∴ =1，

解得：k=3

【解析】（1）根據(jù)點E是AB中點，可求出點E的坐標，將點E的坐標代入反比例函數(shù)解析式可求出k的值，再由點F的橫坐標為4，可求出點F的縱坐標，繼而得出答案；（2）證明∠GED=∠CDF，然后利用兩角法可判斷△EGD∽△DCF，設點E坐標為（ ，2），點F坐標為（4， ），即可得CF= ，BF=DF=2﹣ ，在Rt△CDF中表示出CD，利用對應邊成比例可求出k的值．
【考點精析】本題主要考查了反比例函數(shù)的圖象和反比例函數(shù)的性質的相關知識點，需要掌握反比例函數(shù)的圖像屬于雙曲線．反比例函數(shù)的圖象既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形．有兩條對稱軸：直線y=x和 y=-x．對稱中心是：原點；性質:當k＞0時雙曲線的兩支分別位于第一、第三象限，在每個象限內(nèi)y值隨x值的增大而減��； 當k＜0時雙曲線的兩支分別位于第二、第四象限，在每個象限內(nèi)y值隨x值的增大而增大才能正確解答此題．