Question

如圖，已知二次函數(shù)y=a（x²-6x+8）(a>0)的圖象與x軸交于點(diǎn)A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．
（1）求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）若S_△ABC=8，則過(guò)A、B、C三點(diǎn)的圓是否與拋物線有第四個(gè)交點(diǎn)D？若存在，求出D點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．
（3）將△OAC沿直線AC翻折，點(diǎn)O的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為O＇．
①若O＇落在該拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上，求實(shí)數(shù)a的值；
②是否存在正整數(shù)a，使得點(diǎn)O＇落在△ABC的內(nèi)部，若存在，求出整數(shù)a的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

 

Answer 1

(1) A（2，0），B（4，0）;(2) D（6，8）；（3），不存在．

試題分析：
（1）令y=0，則x²-6x+8=0，
解得：x₁=2，x₂=4，
∴A（2，0），B（4，0）
（2）∵S_△ABC=AB·OC=×2×8a=8，
∴a=1，C(0，8)
∵拋物線與圓均為軸對(duì)稱(chēng)圖形，都關(guān)于直線x=3對(duì)稱(chēng)，
∴圓與拋物線第四個(gè)交點(diǎn)為D（6，8）
（3）①將△OAC沿直線AC翻折，點(diǎn)O的對(duì)應(yīng)點(diǎn)O′落在對(duì)稱(chēng)軸x=3上，
∴AE=1，AO="2"
在Rt O′AE中，∠O′AM=60°
∴∠CAO=60°

∴a=
②過(guò)A點(diǎn)作AF⊥BC，E為垂足，
∴AF=2＜AB，
即AF＜OA
∴不論a取何值，O點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)O′總落在△ABC的外部
∴這樣的整數(shù)a不存在．