Question

如圖1，已知三角形ABC中，AB=BC=1，∠ABC=90度，把一塊含30度角的三角板DEF的直角頂點(diǎn)D放在AC的中點(diǎn)上，將直角三角板DEF繞D點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)。
（1）在圖1中，DE交AB于M,DF交BC于N.
①直接寫(xiě)出DM、DN的數(shù)量關(guān)系；
②在這一過(guò)程中，直角三角板DEF與三角形ABC的重疊部分為四邊形DMBN,請(qǐng)說(shuō)明四邊形DMBN的面積是否發(fā)生變化？若發(fā)生變化，請(qǐng)說(shuō)明如何變化的；若不發(fā)生變化，請(qǐng)求出其面積.
（2）繼續(xù)旋轉(zhuǎn)至如圖2的位置，延長(zhǎng)AB交DE于M，延長(zhǎng)BC交DF于N，DM=DN是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

(1)①DM=DN;

②四邊形DMBN的面積不發(fā)生變化，理由如下：
由①可知S△ADM=S△BDN
∴S四邊形DMBN=S△ADB
已知△ADB的面積是一個(gè)定值
∴四邊形DMBN的面積不發(fā)生變化
∵AB=AC=1，S△ADB=1/2S△ABC
∴S四邊形DMBN=S△ABD=1/2S△ABC=1/4

(2) 連接BD,
∵AB=BC ∠ABC=90°
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠A=∠C=45°
∵D是AC的中點(diǎn)
∴BD是△ABC的中線(xiàn)
∴BD是△ABC的高
∴∠BDC=90°
∴∠DBC=45°=∠DCB
∴BD=CD=AD
∴∠DBC=∠DAB=45°
∵∠EDF=90°=∠ADB ∠EDB為公共角
∴∠ADM=∠BDN
∴△ADM≌△BDN(ASA)
∴DM=DN.