【題目】如圖,一次函數(shù)y=x+1的圖象與二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象交于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)A在x軸上.點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為4.
(1)b= ,c= ;
(2)設(shè)二次函數(shù)的圖象與y軸交于C點(diǎn),與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為D.連接AC,CD,求∠ACD的正弦值;
(3)若M點(diǎn)在x軸下方二次函數(shù)圖象上,
①過M點(diǎn)作y軸平行線交直線AB于點(diǎn)E,以M點(diǎn)為圓心,ME的長為半徑畫圓,求圓M在直線AB上截得的弦長的最大值;
②若∠ABM=∠ACO,則點(diǎn)M的坐標(biāo)為 .
【答案】(1)﹣,﹣3;(2);(3)①,②
【解析】
(1)求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo),將點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式,即可求解;
(2)由點(diǎn)A、C、D的坐標(biāo)得:AD=5,DC=3,AC=,利用解直角三角形的方法求解即可;
(3)①EF=2EH=2EMcos∠AEM=(m+1﹣m2+m+3)=﹣m2+m+,即可求解;
②利用解直角三角形的方法求AP的值,得到OP,進(jìn)而求解.
(1)對(duì)于y=x+1,令y=0,則x=﹣2,故點(diǎn)A(﹣2,0),
將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入直線表達(dá)式并解得:點(diǎn)B(4,3),
將點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式得:,解得:,
故答案為:﹣;﹣3;
(2)由(1)知拋物線的表達(dá)式為:y=x2﹣x﹣3①,
令y=0,則x=3或﹣2,故點(diǎn)D(3,0),
令x=0,則y=﹣3,故點(diǎn)C(0,﹣3),
由點(diǎn)A、C、D的坐標(biāo)得:AD=5,DC=3,AC=,
過點(diǎn)D作DH⊥AC于點(diǎn)H,設(shè)CH=x,則AH=﹣x,
在△ACD中,HD2=OA2﹣AH2=CD2﹣CH2,即25﹣(﹣x)2=(3)2﹣x2,
解得:x=,
,
則sin∠ACD=;
(3)①如圖2,設(shè)圓M與直線AB的另外一個(gè)交點(diǎn)為F,則EF為所求,
連接MF,過點(diǎn)M作MH⊥AB于點(diǎn)H,
由直線AB的表達(dá)式知tan∠EAO=,則tan∠AEM=2,則cos∠AEM=,
設(shè)點(diǎn)M(m,m2﹣m﹣3),則點(diǎn)E(m,m+1),
則EF=2EH=2EMcos∠AEM=(m+1﹣m2+m+3)=﹣m2+m+,
∵<0,故EF有最大值,當(dāng)m=1時(shí),EF的最大值為,
故圓M在直線AB上截得的弦長的最大值為;
②如圖3,設(shè)直線AB交y軸于點(diǎn)H(0,1),直線BM交x軸于點(diǎn)P,過點(diǎn)P作PQ⊥AB于點(diǎn)Q,
由直線AB的表達(dá)式知tan∠BAO=,則tan∠AGO=2,
在Rt△AQD中,tan∠QAD= tan∠BAO=,
在△AOC中,tan∠ACO==,
∵∠ABM=∠ACO,
tan∠ABM= tan∠ACO==
設(shè)PQ=2x,則QB=3x,AQ=4x,
則AB=AQ+QB=7x=,解得:x=,
AP=,
∴OP=AP﹣OA=,故點(diǎn)P,
由點(diǎn)B、P的坐標(biāo)得,直線PB的表達(dá)式為:y=﹣x﹣4②,令y=x2﹣x﹣3①
聯(lián)立①②并解得:x=或4(與點(diǎn)B重合,舍去),
將x=代入②,得
故點(diǎn)M,
故答案為.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,拋物線y=(x+2)(x﹣8)與x軸交于A,B兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,頂點(diǎn)為M,以AB為直徑作⊙D.下列結(jié)論:①拋物線的對(duì)稱軸是直線x=3;②⊙D的面積為16π;③拋物線上存在點(diǎn)E,使四邊形ACED為平行四邊形;④直線CM與⊙D相切.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示拋物線過點(diǎn),點(diǎn),且
(1)求拋物線的解析式及其對(duì)稱軸;
(2)點(diǎn)在直線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),且,點(diǎn)在點(diǎn)的上方,求四邊形的周長的最小值;
(3)點(diǎn)為拋物線上一點(diǎn),連接,直線把四邊形的面積分為3∶5兩部分,求點(diǎn)的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)稱為格點(diǎn),如圖,的三個(gè)頂點(diǎn),,均為格點(diǎn),上的點(diǎn)也為格點(diǎn),用無刻度的直尺作圖:
(1)將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到線段,寫出格點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)將線段平移至線段,使點(diǎn)與點(diǎn)重合,直接寫出格點(diǎn)的坐標(biāo);
(3)畫出線段關(guān)于對(duì)稱的線段,保留作圖痕跡.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校為了解九年級(jí)學(xué)生新冠疫情防控期間每天居家體育活動(dòng)的時(shí)間(單位:),在網(wǎng)上隨機(jī)調(diào)查了該校九年級(jí)部分學(xué)生.根據(jù)調(diào)查結(jié)果,繪制出如下的統(tǒng)計(jì)圖1和圖2.請(qǐng)根據(jù)相關(guān)信息,解答下列問題:
(1)本次接受調(diào)查的初中學(xué)生人數(shù)為________,圖①中的值為________;
(2)這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是________,眾數(shù)是________,中位數(shù)是________;
(3)根據(jù)統(tǒng)計(jì)的這組每天居家體育活動(dòng)時(shí)間的樣本數(shù)據(jù),估計(jì)該校500名九年級(jí)學(xué)生居家期間每天體育活動(dòng)時(shí)間大于的學(xué)生人數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,AD平分∠BAC交⊙O于D,過D作DE⊥AC交AC延長線于點(diǎn)E,交AB延長線于點(diǎn)F.
(1)求證:EF是⊙O的切線;
(2)若DE=,tan∠BDF=,求DF的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在正方形ABCD中,M、N是對(duì)角線AC上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),P是正方形四邊上的任意一點(diǎn),且,.關(guān)于下列結(jié)論:①當(dāng)△PAN是等腰三角形時(shí),P點(diǎn)有6個(gè);②當(dāng)△PMN是等邊三角形時(shí),P點(diǎn)有4個(gè);③DM+DN的最小值等于6.其中,一定正確的結(jié)論的序號(hào)是_______.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,將反比例函數(shù)y=(k>0)的圖象向左平移2個(gè)單位長度后記為圖象c,c與y軸相交于點(diǎn)A,點(diǎn)P為x軸上一點(diǎn),點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)P的對(duì)稱點(diǎn)B在圖象c上,以線段AB為邊作等邊△ABC,頂點(diǎn)C恰好在反比例函數(shù)y=﹣(x>0)的圖象上,則k=_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某公司銷售部有營業(yè)員20人,該公司為了調(diào)動(dòng)營業(yè)員的積極性,決定實(shí)行目標(biāo)管理,根據(jù)目標(biāo)完成的情況對(duì)營業(yè)員進(jìn)行適當(dāng)?shù)莫?jiǎng)勵(lì),為了確定一個(gè)適當(dāng)?shù)脑落N售目標(biāo),公司有關(guān)部門統(tǒng)計(jì)了這20人某月的銷售量,如下表所示:
某公司20位營業(yè)員月銷售目標(biāo)統(tǒng)計(jì)表
月銷售量/件數(shù) | 1760 | 480 | 220 | 180 | 120 | 90 |
人數(shù) | 1 | 1 | 3 | 5 | 6 | 4 |
請(qǐng)根據(jù)以上提供的信息解答下列問題:
(1)求這個(gè)月中20位營業(yè)員的月銷售量的平均數(shù);
(2)為了提高大多數(shù)營業(yè)員積極性,公司將發(fā)放A,B,C三個(gè)等級(jí)的獎(jiǎng)金(金額:),如果你是管理者,從平均數(shù),中位數(shù),眾數(shù)的角度進(jìn)行分析,你將如何確定領(lǐng)取A,B,C級(jí)獎(jiǎng)金各需達(dá)到的月銷售量.
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