Question

（1）將1，2，3，4，…，2004這2004個(gè)數(shù)隨意排成一行，得到一個(gè)數(shù)N，求證：N一定是合數(shù)．     
（2）若n是大于2的正整數(shù)，求證：2ⁿ-1與2ⁿ+1至多有一個(gè)是質(zhì)數(shù)．                         
（3）求360的所有正約數(shù)的倒數(shù)和．

Answer 1

考點(diǎn)：質(zhì)數(shù)與合數(shù)

專題：

分析：（1）將1到2004隨意排成一行的數(shù)有很多，不可能一一排出，不妨能找出無論怎樣排．所得數(shù)都有非1和本身的約數(shù)；
（2）只需說明2ⁿ-1與2ⁿ+1中必有一個(gè)是合數(shù)，不能同為質(zhì)數(shù)即可；
（3）設(shè)正整數(shù)a的所有正約數(shù)之和為b，d₁、d₂、d₃、d₄…d_n為a的所有正約數(shù)從小到大的排列，再求出其倒數(shù)和的表達(dá)式，再把360化為2³×3²×5的形式，進(jìn)而求出b的值即可得出答案．

解答：解：（1）從1到999來看這999個(gè)數(shù)，不管怎么排列，都可以把百位十位和各位的數(shù)，
按照九個(gè)九個(gè)的分組，個(gè)位上1到9，分到一組，十位上1到9分到一組，百位上1到9分一組，
都是剛好分成九個(gè)一組的，每組加起來都是45，
再有4+5=9，這999個(gè)數(shù)的各位數(shù)字的和能被9整除．
同理，從1000到1999，我們不看千位上的1，百位以后和上面分析的一樣，每個(gè)數(shù)的每一位加起來最終能被9整除．
但是這里千位上多了1000個(gè)1，再看2000到2004這5個(gè)數(shù)，這5個(gè)數(shù)有5個(gè)2，
然后從0到4有5個(gè)數(shù)，我們可以不看0．
于是2+2+2+2+2+1+2+3+4=20，
加上1000到1999千位上的一千個(gè)1，就是1020，這個(gè)數(shù)可以也被3整除．
也就是說，1到2004，所有數(shù)字隨便排在一起，每個(gè)位子上的數(shù)加起來的總和可以被3整除，
即含有3這個(gè)因數(shù)，故N一定是合數(shù)；

（2）假設(shè)2ⁿ-1與2ⁿ+1均是質(zhì)數(shù)，則（2ⁿ-1）（2ⁿ+1）一定為合數(shù)，
即4ⁿ-1一定為合數(shù)，
當(dāng)n=3時(shí)4ⁿ-1=63，而63是質(zhì)數(shù)，假設(shè)不成立，
故2ⁿ-1與2ⁿ+1中至多有一個(gè)是質(zhì)數(shù)．

（3）設(shè)正整數(shù)a的所有正約數(shù)之和為b，d₁、d₂、d₃、d₄…d_n為a的所有正約數(shù)從小到大的排列，
于是d₁、=1，d₂、d₃、d₄…d_n為a的所有正約數(shù)從小到大的排列，于是d₁=1，d_n=a，
由于S=

1

d1

+

1

d2

+

1

d3

+…+

1

dn

中各分?jǐn)?shù)分母的最小公倍數(shù)為d_n=a，
故S=

dn

dn

+

dn-1

dn

+

dn-2

dn

+…+

d1

dn

=

d1+d2+d3+…+dn

dn

=

b

a

，
而a=360=2³×3²×5，
故b=（1+2+2²×2³）×（1+3+3²）×（1+5）=1170，
所以360的所有正約數(shù)的倒數(shù)和為：

1170

360

=3

1

4

．

點(diǎn)評：本題考查的是質(zhì)數(shù)與合數(shù)、數(shù)的整除性問題，在解（2）時(shí)要熟知兩個(gè)質(zhì)數(shù)的積必為合數(shù)這一結(jié)論．