Question

【題目】在△ABC中，AB＝4，BC＝2，∠ABC＝45°，以AB為一邊作等腰直角三角形ABD，使∠ABD＝90°，連接CD，則線段CD的長(zhǎng)為_____．

Answer 1

【答案】2或2．

【解析】

分①點(diǎn)A、D在BC的兩側(cè)，設(shè)AD與邊BC相交于點(diǎn)E，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出AD，再求出BE=DE=AD并得到BE⊥AD，然后求出CE，在Rt△CDE中，利用勾股定理列式計(jì)算即可得解；②點(diǎn)A、D在BC的同側(cè)，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得BD=AB，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BC交BC的反向延長(zhǎng)線于E，判定△BDE是等腰直角三角形，然后求出DE=BE，再求出CE，然后在Rt△CDE中，利用勾股定理列式計(jì)算即可得解．

解：①如圖1，點(diǎn)A、D在BC的兩側(cè)，

∵△ABD是等腰直角三角形，

∴AD=AB=×4=8，

∵∠ABC=45，

∴BE=DE=AD=×8=4，BE⊥AD，

∵BC=2，

∴CE=BEBC=42=2，

在Rt△CDE中，CD===2；

②如圖2，點(diǎn)A、D在BC的同側(cè)，

∵△ABD是等腰直角三角形，

∴BD=AB=4，

過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BC交BC的反向延長(zhǎng)線于E，則△BDE是等腰直角三角形，

∴DE=BE=×4=4，

∵BC=2，

∴CE=BE+BC=4+2=6，

在Rt△CDE中，CD===2，

綜上所述，線段CD的長(zhǎng)為2或2.

故答案為：2或2.