Question

已知直線y=kx+3（k＜0）分別交x軸、y軸于A、B兩點(diǎn)，線段OA上有一動(dòng)點(diǎn)P由原點(diǎn)O向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，速度為每秒1個(gè)單位長度，過點(diǎn)P作x軸的垂線交直線AB于點(diǎn)C，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．

（1）當(dāng)k=-1時(shí)，線段OA上另有一動(dòng)點(diǎn)Q由點(diǎn)A向點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)，它與點(diǎn)P以相同速度同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)A時(shí)兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)（如圖1）．
①直接寫出t=1秒時(shí)C、Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
②若以Q、C、A為頂點(diǎn)的三角形與△AOB相似，求t的值．
（2）當(dāng)k=-

3

4

時(shí)，設(shè)以C為頂點(diǎn)的拋物線y=（x+m）²+n與直線AB的另一交點(diǎn)為D（如圖2），求CD的長．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）①由題意可得P（t，0），C（t，-t+3），Q（3-t，0）代入t的數(shù)值得出答案即可；
②由題意得到關(guān)于t的坐標(biāo)．按照兩種情形解答，從而得到答案．
（2）以點(diǎn)C為頂點(diǎn)的拋物線，解得關(guān)于t的根，又由過點(diǎn)D作DE⊥CP于點(diǎn)E，則∠DEC=∠AOB=90°，又由△DEC∽△AOB從而解得．

解答：解：（1）①C（1，2），Q（2，0）
②由題意得：P（t，0），C（t，-t+3），Q（3-t，0）．
分兩種情況討論：
情形一：當(dāng)△AQC∽△AOB時(shí)，∠AQC=∠AOB=90°，
∴CQ⊥OA，
∵CP⊥OA，
∴點(diǎn)P與點(diǎn)Q重合，OQ=OP，
即3-t=t，
∴t=1.5；
情形二：當(dāng)△ACQ∽△AOB時(shí)，∠ACQ=∠AOB=90°，
∵OA=OB=3，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴△ACQ也是等腰直角三角形．
∵CP⊥OA，
∴AQ=2CP，
即t=2（-t+3），
∴t=2．
∴滿足條件的t的值是1.5秒或2秒；

（2）由題意得：C（t，-

3

4

t+3），
∴以C為頂點(diǎn)的拋物線解析式是y=（x-t）²-

3

4

t+3
由（x-t）²-

3

4

t+3=-

3

4

x+3，
∴（x-t）（x-t+

3

4

）=0，
解得x₁=t，x₂=t-

3

4

．
過點(diǎn)D作DE⊥CP于點(diǎn)E，則∠DEC=∠AOB=90°，

∵DE∥OA，
∴∠EDC=∠OAB，
∴△DEC∽△AOB，
∴

DE

AO

=

CD

BA

∵AO=4，AB=5，DE=t-（t-

3

4

）=

3

4

，
∴CD=

DE•BA

AO

=

3 4 ×5

4

=

15

16

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的綜合運(yùn)用，以及相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，根據(jù)已知得出相似三角形進(jìn)而得出線段長度是解題關(guān)鍵．