Question

在Rt△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC．

（1）如圖①，過點A在△ABC外作直線MN，BM⊥MN于M，CN⊥MN于N．①判斷線段MN、BM、CN之間有何數(shù)量關系，并證明；

②若AM=，BM=，AB=，試利用圖①驗證勾股定理=；

（2）如圖②，過點A在△ABC內(nèi)作直線MN，BM⊥MN于M，CN⊥MN于N，判斷線段MN、BM、CN之間有何數(shù)量關系？（直接寫出答案）

 

 

Answer 1

（1）證明見解析；（2）MN=BM-CN.

【解析】

試題分析：（1）①利用已知得出∠MAB=∠ACN，進而得出△MAB≌△NCA，進而得出BM=AN，AM=CN，即可得出線段MN、BM、CN之間的數(shù)量關系；

②利用S梯形MBCN=S△MAB+S△ABC+S△NCA=ab+c2+ab，S梯形MBCN=（BM+CN）×MN=（a+b）2，進而得出答案；

（2）利用已知得出∠MAB=∠ACN，進而得出△MAB≌△NCA，進而得出BM=AN，AM=CN，即可得出線段MN、BM、CN之間的數(shù)量關系．

試題解析：（1）①MN=BM+CN；

理由：∵∠MAB+∠NAC=90°，∠ACN+∠NAC=90°，

∴∠MAB=∠ACN，

在△MAB和△NCA中

，

∴△MAB≌△NCA（AAS），

∴BM=AN，AM=CN，

∴MN=AM+AN=BM+CN；

②由①知△MAB≌△NCA，

∴CN=AM=a，AN=BM=b，AC=BC=c，

∴MN=a+b，

∵S梯形MBCN=S△MAB+S△ABC+S△NCA=ab+c2+ab，S梯形MBCN=（BM+CN）×MN=（a+b）2，

∴ab+c2+ab=（a+b）2，

∴a2+b2=c2；

（2）MN=BM-CN；

理由：∵∠MAB+∠NAC=90°，∠ACN+∠NAC=90°，

∴∠MAB=∠ACN，

在△MAB和△NCA中

，

∴△MAB≌△NCA（AAS），

∴BM=AN，AM=CN，

∴MN=AN-AM=BM-CN．

考點：全等三角形的判定與性質(zhì)．