Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的頂點坐標為（4，﹣ ），且與y軸交于點C（0，2），與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左邊）

（1）求拋物線的解析式及A，B兩點的坐標；
（2）若（1）中拋物線的對稱軸上有點P，使△ABP的面積等于△ABC的面積的2倍，求出點P的坐標；
（3）在（1）中拋物線的對稱軸l上是否存在一點Q，使AQ+CQ的值最��？若存在，求AQ+CQ的最小值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：拋物線的頂點坐標為（4，﹣ ），可以假設拋物線為y=a（x﹣4）2﹣ 把點（0，2）代入得到a= ，

∴拋物線的解析式為y= （x﹣4）2﹣ ．

令y=0得到 （x﹣4）2﹣ =0，解得x=2或6，

∴A（2，0），B（6，0）

（2）

解：設P（4，m），

由題意： 4|m|=2× ×4×2，解得m=±4，

∴點P坐標（4，4）或（4，﹣4）

（3）

解：存在．理由如下：

∵A、B關于對稱軸對稱，連接CB交對稱軸于Q，連接QA，此時QA+QC最短（兩點之間線段最短），

∴QA+QC的最小值=QA+QC=QB+QC=BC= = ．

【解析】（1）因為拋物線的頂點坐標為（4，﹣ ），所以可以假設拋物線為y=a（x﹣4）2﹣ 把點（0，2）代入得到a= ，令y=0，解方程即可求出A、B兩點坐標．（2）設P（4，m），由題意可得 4|m|=2× ×4×2，解方程即可．（3）存在．因為A、B關于對稱軸對稱，連接CB交對稱軸于Q，連接QA，此時QA+QC最短（兩點之間線段最短），
【考點精析】利用二次函數(shù)的圖象和二次函數(shù)的性質對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知二次函數(shù)圖像關鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點；增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小．