Question

【題目】如圖，正方形的邊長為6個(gè)單位長度，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以1個(gè)單位/秒的速度按的方向運(yùn)動(dòng)，再次回到點(diǎn)結(jié)束運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為秒．

（1）如圖1，若為直角三角形，求的值；

（2）如圖2，若點(diǎn)在上，且，求的度數(shù)；

（3）如圖3，點(diǎn)是對(duì)角線的三等分點(diǎn)，且，若，直接寫出滿足條件的點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并注明這些點(diǎn)分別在正方形的哪條邊上．

Answer 1

【答案】（1）4.5或12或21；（2）135°；（3）有兩個(gè)，分別在和上

【解析】

（1）分當(dāng)點(diǎn)F在CD上、AD上以及和點(diǎn)B重合時(shí)三種情況分別求出相應(yīng)的t值；

（2）根據(jù)題意求出DF和CF，EF，延長至點(diǎn)，證明，得到，，再證明，得到對(duì)應(yīng)角相等，最后根據(jù)可得結(jié)果；

（3）分點(diǎn)F在正方形各邊上的情況，分別求出的最值，即可得出結(jié)果．

解：（1）①當(dāng)點(diǎn)在上，，

則，

∴，

∴，

解之：，

②當(dāng)點(diǎn)在上，，，

③當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合，，，

（2）解：∵，

∴，，

在中，，

延長至點(diǎn)，使，

則，

在與中，

，

∴，

∴，，

∴，

在與中，

，

∴，

∴，，，

又∵在中，，

∴；

（3）滿足條件的點(diǎn)有兩個(gè)，分別在邊和上.

理由是：當(dāng)點(diǎn)F在AB上時(shí)，如圖，

E′為點(diǎn)E關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)，GH⊥BC于H，

∵GH∥CD，

∴，

可得GH=BH=4，

∴的最小值為E′G=＞8，

即AB上沒有符合要求的F；

當(dāng)點(diǎn)F在AD上時(shí)，如圖，

E′為點(diǎn)E關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn)，

同理可得：KG=AB=2，HG=6+2=8＜E′G，

∴此時(shí)的最小值為E′G的長，大于8，

∴AD上不存在符合要求的F；

當(dāng)點(diǎn)F在CD上時(shí)，如圖，

E′為點(diǎn)E關(guān)于CD的對(duì)稱點(diǎn)，GH⊥BC于H，

同理可得：GH=BH=4，HC=2，

∴HE′=5，

此時(shí)的最小值為E′G=＜8，

當(dāng)點(diǎn)F在點(diǎn)D處時(shí)，=ED+GD==，

∴CD上存在符合要求的點(diǎn)F；

當(dāng)點(diǎn)F在BC上時(shí)，GH⊥BC于H，

若點(diǎn)F與點(diǎn)E重合，

同理可知GH=4=BH，EH=BH-BE=1，

則=GE=＜8，

若點(diǎn)F與點(diǎn)B重合，

同理可知BG=，BE=3，

則=BE+BG==8，

故BC上存在符合要求的點(diǎn)F；

綜上：滿足條件的點(diǎn)有兩個(gè)，分別在和上.