Question

【題目】閱讀下面材料，并回答下列問題：

小明遇到這樣一個(gè)問題，如圖，在中，分別交于點(diǎn)，交于點(diǎn).已知，求的值.

小明發(fā)現(xiàn)，過點(diǎn)作，交的延長線于點(diǎn)，構(gòu)造，經(jīng)過推理和計(jì)算能夠使問題得到解決（如圖）

請(qǐng)你回答：

（1）證明：；

（2）求出的值；

（3）參考小明思考問題的方法，解決問題；

如圖，已知和矩形與交于點(diǎn).求的度數(shù).

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）；（3）

【解析】

（1）由DE∥BC，EF∥DC，可證得四邊形DCFE是平行四邊形，從而問題得以解決；

（2）由DC⊥BE，四邊形DCFE是平行四邊形，可得Rt△BEF，求出BF的長，證明BC+DE=BF；

（3）連接AE，CE，由四邊形ABCD是平行四邊形，四邊形ABEF是矩形，易證得四邊形DCEF是平行四邊形，繼而證得△ACE是等邊三角形，問題得證．

（1）證明：∵DE∥BC，EF∥DC，

∴四邊形DCFE是平行四邊形．

∴DE=CF．

（2）解：由于四邊形DCFE是平行四邊形，

∴DE=CF，DC=EF，

∴BC+DE=BC+CF=BF．

∵DC⊥BE，DC∥EF，

∴∠BEF=90°．在Rt△BEF中，

∵BE=5，CD=3，

∴BF=．

（3）連接AE，CE，如圖．

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB∥DC．

∵四邊形ABEF是矩形，

∴AB∥FE，BF=AE．

∴DC∥FE．

∴四邊形DCEF是平行四邊形．

∴CE∥DF．

∵AC=BF=DF，

∴AC=AE=CE．

∴△ACE是等邊三角形．

∴∠ACE=60°．

∵CE∥DF，

∴∠AGF=∠ACE=60°．