Question

如圖，在8×8的正方形網格中，△CAB和△DEF的頂點都在邊長為1的小正方形的頂點上，AC與網格上的直線相交于點M．
（1）填空：AC=

 

，AB=

 

．
（2）求∠ACB的值和tan∠1的值；
（3）判斷△CAB和△DEF是否相似？并說明理由．

Answer 1

考點：相似三角形的判定,勾股定理,銳角三角函數的定義

專題：幾何圖形問題

分析：（1）根據勾股定理來求AC、AB的長度；
（2）利用勾股定理的逆定理和銳角三角函數的定義來解題；
（3）由“三邊法”法來證它們相似．

解答：解：（1）如圖，由勾股定理，得
AC=

22+42

=2

5

．
AB=

22+62

=2

10

故答案是：2

5

，2

10

；

（2）如圖所示，BC=

22+42

=2

5

．
又由（1）知，AC=2

5

，AB=2

10

，
∴AC²+BC²=AB²=40，
∴∠ACB=90°．
tan∠1=

2

4

=

1

2

．
綜上所述，∠ACB的值是90°和tan∠1的值是

1

2

；

（3）△CAB和△DEF相似．理由如下：
如圖，DE=DF=

12+22

=

5

，EF=

12+32

=

10

．
則

AC

ED

=

BC

FD

=

AB

EF

=2，
所以△CAB∽△DEF．

點評：本題考查了相似三角形的判定，勾股定理，勾股定理的逆定理以及銳角三角函數的定義．識別兩三角形相似，除了要掌握定義外，還要注意正確找出兩三角形的對應邊、對應角，可利用數形結合思想根據圖形提供的數據計算對應角的度數、對應邊的比．本題中把若干線段的長度用同一線段來表示是求線段是否成比例時常用的方法．