Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知矩形ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)A(－3，4)、B(－3，0)、C(－1，0) .以D為頂點(diǎn)的拋物線y = ax2+bx+c過點(diǎn)B. 動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)，沿DC邊向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，沿BA邊向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)的速度均為每秒1個(gè)單位，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒. 過點(diǎn)P作PE⊥CD交BD于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作EF⊥AD于點(diǎn)F，交拋物線于點(diǎn)G.

（1）求拋物線的解析式；

（2）當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形BDGQ的面積最大？最大值為多少？

（3）動(dòng)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)過程中，在矩形ABCD內(nèi)（包括其邊界）是否存在點(diǎn)H，使以B，Q，E，H為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，若存在，請(qǐng)直接寫出此時(shí)菱形的周長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】（1）y=－x2－2x＋3（2）當(dāng)t =2時(shí)，四邊形BDGQ的面積最大，最大值為2（3）存在， 或80－32

【解析】試題分析：（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)可以寫出點(diǎn)D得到坐標(biāo)；由頂點(diǎn)D的坐標(biāo)可設(shè)該拋物線的頂點(diǎn)式方程為y=a（x+1）2+4，然后將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入，即可求得系數(shù)a的值（利用待定系數(shù)法求拋物線的解析式）。（2）利用三角形相似△DPE∽△DBC可以求得點(diǎn)E的橫坐標(biāo)，再求出AF的長(zhǎng)，將其代入拋物線求出點(diǎn)G的橫坐標(biāo)；然后結(jié)合拋物線方程、圖形與坐標(biāo)變換可以求得GE=最后根據(jù)三角形的面積公式可以求得，S四邊形BDGQ= S△BQG＋S△BEG＋S△DEG，由二次函數(shù)的最值可以解得t=2時(shí)，S△ACG的最大值為2;（3）因?yàn)榱庑问青忂呄嗟鹊钠叫兴倪呅�，所以點(diǎn)H在直線EF上。分CE是邊和對(duì)角線兩種情況討論即可。

試題解析：

（1） 由題意得，頂點(diǎn)D點(diǎn)的坐標(biāo)為（－1，4）.

設(shè)拋物線的解析式為y=a (x＋1) 2＋4（a≠0），

∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)B(－3，0)，代入y=a (x＋1) 2＋4

可求得a=－1

∴拋物線的解析式為y=－ (x＋1) 2＋4

即y=－x2－2x＋3.

（2）由題意知，DP=BQ = t，

∵PE∥BC，

∴△DPE∽△DBC.

∴=2，

∴PE=DP= t.

∴點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為－1－t，AF=2－t.

將x =－1－t代入y=－ (x＋1) 2＋4，得y=－t2＋4.

∴點(diǎn)G的縱坐標(biāo)為－t2＋4，

∴GE=t2＋4－（4－t）=－t2＋t.

連接BG，S四邊形BDGQ= S△BQG＋S△BEG＋S△DEG，

即S四邊形BDGQ=BQ·AF＋EG·（AF＋DF）

=t（2－t）－t2＋t.

=－t2＋2t=－ (t－2)2＋2.

∴當(dāng)t =2時(shí)，四邊形BDGQ的面積最大，最大值為2.

（3）存在，

菱形BQEH的周長(zhǎng)為或80－32.