Question

溫州龍港禮品城某店經(jīng)銷(xiāo)一種工藝品，已投資3000元進(jìn)行店面裝修．已知這種工藝品單個(gè)成本50元．據(jù)調(diào)查，銷(xiāo)量w（個(gè)）隨銷(xiāo)售單價(jià)x（元/個(gè)）的變化而變化，具體變化規(guī)律如下表所示

銷(xiāo)售單價(jià)x	…	70	75	80	85	90	…
銷(xiāo)售量w	…	100	90	80	70	60	…

設(shè)該店銷(xiāo)售這種工藝品的月銷(xiāo)售利潤(rùn)為y（元）
（1）能否用一次函數(shù)刻畫(huà)w與x的關(guān)系？如果能，請(qǐng)直接寫(xiě)出w與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出x為何值時(shí)，y的值最大？
（3）若在第一個(gè)月里，按y獲得最大值的銷(xiāo)售單價(jià)進(jìn)行銷(xiāo)售后，店主發(fā)現(xiàn)未收回前期投資，準(zhǔn)備降價(jià)促銷(xiāo)，預(yù)計(jì)在第二個(gè)月全部收回投資的基礎(chǔ)上再盈利1450元，那么第二個(gè)月這種禮品單價(jià)應(yīng)確定為多少元？

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的應(yīng)用

專(zhuān)題：

分析：（1）首先判斷w與x的函數(shù)關(guān)系，進(jìn)而利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式；
（2）利用月銷(xiāo)售利潤(rùn)=銷(xiāo)量×每件商品的利潤(rùn)，進(jìn)而求出最值；
（3）首先求出第1個(gè)月還有3000-2450=550元的投資成本沒(méi)有收回，再利用預(yù)計(jì)在第二個(gè)月全部收回投資的基礎(chǔ)上再盈利1450元，進(jìn)而得出等式方程，求出第二個(gè)月這種禮品單價(jià)．

解答：解：（1）由表格中數(shù)據(jù)可得出：w與x是一次函數(shù)關(guān)系，設(shè)w=kx+b，則將（70，100），（75，90）代入得出：

70k+b=100 75k+b=90

，
解得：

k=-2 b=240

故w與x之間的函數(shù)關(guān)系式為：w=-2x+240；

（2）y與x的關(guān)系式為：
y=（x-50）•w
=（x-50）（-2x+240）
=-2x²+340x-12000
=-2（x-85）²+2450，
∴當(dāng)x=85時(shí)，y的值最大為2450元．

（3）∵在第一個(gè)月里，按使y獲得最大值的銷(xiāo)售單價(jià)進(jìn)行銷(xiāo)售所獲利潤(rùn)為2450元，
∴第1個(gè)月還有3000-2450=550元的投資成本沒(méi)有收回．
則要想在全部收回投資的基礎(chǔ)上使第二個(gè)月的利潤(rùn)達(dá)到1450元，即y=2000才可以，
可得方程-2（x-85）²+2450=2000，
解得：x₁=70，x₂=100．
根據(jù)題意，可知x₂=100不合題意應(yīng)舍去．
答：當(dāng)銷(xiāo)售單價(jià)為70元時(shí)，可獲得銷(xiāo)售利潤(rùn)2000元，即在全部收回投資的基礎(chǔ)上使第二個(gè)月的利潤(rùn)達(dá)到1450元．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用以及二次函數(shù)最值求法以及一元二次方程的解法等知識(shí)，得出y與x的函數(shù)關(guān)系式是解題關(guān)鍵．