Question

如圖1、圖2、圖3所示，在△ABC和△BDE中，若∠BAC=∠BDE=90°，AB=AC，BD=DE，連CE，點P是CE的中點，則AP與DP有何關(guān)系？請分別作出證明．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),等腰直角三角形,三角形中位線定理

專題：

分析：M、N是BC、BE的中點，連接AM、PM，DN、PN，根據(jù)三角形的中位線定理得出PM=

1

2

BE，PN=

1

2

BC，PM∥DE，PN∥BC，根據(jù)兩直線平行同位角相等得出∠ENP=∠EBC，∠CMP=∠EBC，進而得出∠ENP=∠CMP，根據(jù)等腰直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半得出AM=

1

2

BC，DN=

1

2

BE，以及AM⊥BC，BN⊥BE，進而求得∠AMP=∠PND，AM=PN，PM=DN，然后根據(jù)SAS即可求得△AMP≌△PND，根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等求得AP=DP．

解答：答：AP=DP；．
證明：M、N是BC、BE的中點，連接AM、PM，DN、PN，
如圖1，∵PM、PN是三角形的中位線，
∴PM=

1

2

BE，PN=

1

2

BC，PM∥DE，PN∥BC，
∴∠ENP=∠EBC，∠CMP=∠EBC，
∴∠ENP=∠CMP，
∵∠BAC=∠BDE=90°，AB=AC，BD=DE，
∴△ABC與△BDE是等腰直角三角形，
∴AM=

1

2

BC，DN=

1

2

BE，AM⊥BC，BN⊥BE，
∴∠ENP+∠DNE=∠CMP+∠AMC，
∴∠AMP=∠PND，AM=PN，PM=DN，
在△AMP與△PND中

AM=PN ∠AMP=∠PND PM=DN

∴△AMP≌△PND（SAS），
∴AP=DP；
如圖2，∵PM、PN是三角形的中位線，
∴PM=

1

2

BE，PN=

1

2

BC，PM∥DE，PN∥BC，
∴∠ENP=∠EBC，∠CMP=∠EBC，
∴∠ENP=∠CMP，
∵∠BAC=∠BDE=90°，AB=AC，BD=DE，
∴△ABC與△BDE是等腰直角三角形，
∴AM=

1

2

BC，DN=

1

2

BE，AM⊥BC，BN⊥BE，
∴∠DNE-∠ENP=∠AMC-∠CMP，
∴∠AMP=∠PND，AM=PN，PM=DN，
在△AMP與△PND中

AM=PN ∠AMP=∠PND PM=DN

∴△AMP≌△PND（SAS），
∴AP=DP；
如圖3，∵PM、PN是三角形的中位線，
∴PM=

1

2

BE，PN=

1

2

BC，PM∥DE，PN∥BC，
∴∠ENP=∠EBC，∠CMP=∠EBC，
∴∠ENP=∠CMP，
∵∠BAC=∠BDE=90°，AB=AC，BD=DE，
∴△ABC與△BDE是等腰直角三角形，
∴AM=

1

2

BC，DN=

1

2

BE，AM⊥BC，BN⊥BE，
∴∠ENP-∠DNE=∠CMP-∠AMC，
∴∠AMP=∠PND，AM=PN，PM=DN，
在△AMP與△PND中

AM=PN ∠AMP=∠PND PM=DN

∴△AMP≌△PND（SAS），
∴AP=DP．

點評：本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形的中位線的性質(zhì)定理，三角形全等的判定和性質(zhì)，熟練掌握這些性質(zhì)和定理是解題的關(guān)鍵．