Question

如圖，已知直線y=-

1

2

x+6交x軸于B，交y軸于C，并與直線y=x交于點A，點P在射線OA上從點O出發(fā)沿射線OA方向以每秒1個單位長的速度運動，過P作PQ∥x軸交直線y=-

1

2

x+6于Q，以PQ為邊向下作正方形PQMN，設(shè)點P的運動時間為t秒，正方形PQMN與△AOB的重疊部分的面積為S．
（1）直接寫出點A的坐標；
（2）當點P在線段OA上且MN在x軸上時，求線段PQ的長；
（3）當點Q在第一象限內(nèi)時，求S與t的函數(shù)關(guān)系式，并求對應的t的取值范圍．

Answer 1

考點：一次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）解直線y=-

1

2

x+6與直線y=x構(gòu)成的方程組，解這個方程組即可求得點A的坐標；
（2）根據(jù)題意求得PQ、PN的表達式，根據(jù)正方形的性質(zhì)即可PQ=PN，得出12-

3 2

2

t=

2

2

t，解得：t=3

2

，代入PQ的表達式即可求得；
（3）根據(jù)直線y=x，即可求得P（

2

2

t，

2

2

t），Q（12-

2

t，

2

2

t），然后根據(jù)矩形的面積公式得出S=-

3

2

t²+6

2

；最后根據(jù)題意得出t的取值；

解答：解：（1）解

y=- 1 2 x+6 y=x

 得：

x=4 y=4

，
∴A（4，4）；

（2）∵P在直線y=x上，OP=t，
∴P（

2

2

t，

2

2

t），
把y=

2

2

t代入直線y=-

1

2

x+6得：x=12-

2

t，
∴Q（12-

2

t，

2

2

t），
∴PQ=12-

2

t-

2

2

t=12-

3 2

2

t，
∵正方形PQMN，
∴PQ=PN，
即12-

3 2

2

t=

2

2

t，解得：t=3

2

，
∴PQ=12-

3 2

2

t=3；

（3））∵P在直線y=x上，OP=t，
∴P（

2

2

t，

2

2

t），
把y=

2

2

t代入直線y=-

1

2

x+6得：x=12-

2

t，
∴Q（12-

2

t，

2

2

t），
∴PQ=12-

2

t-

2

2

t=12-

3 2

2

t，
∵正方形PQMN，
∴S=

2

2

t•PQ=

2

2

t（12-

3 2

2

t）=-

3

2

t²+6

2

；
即S=-

3

2

t²+6

2

；
由直線y=-

1

2

x+6可知C（0，6），
∴OP=6

2

，
∴0＜t≤6

2

；

點評：本題考查了直線的交點坐標的求法，正方形的性質(zhì)及面積的求法，矩形的性質(zhì)及面積的求法，t的取值是本題的難點；