【題目】已知拋物線y=x2+bx+c(bc≠0).
(1)若該拋物線的頂點坐標為(c,b),求其解析式;
(2)點A(m,n),B(m+1,n),C(m+6,n)在拋物線y=x2+bx+c上,求△ABC的面積;
(3)在(2)的條件下,拋物線y=x2+bx+c的圖象與x軸交于D(x1,0),E(x2,0)(x1<x2)兩點,且0<x1+x2<3,求b的取值范圍.
【答案】(1) y=x2﹣6x+3;(2)15;(3) ﹣5.5<b<﹣1且b≠﹣2.
【解析】(1)根據拋物線的頂點式和頂點坐標(c,b)設解析式,與已知的解析式列等式可求得b和c的值,寫出拋物線的解析式;
(2)由A與C的縱坐標相等可得:m和m+6是方程x2+bx+c=n的兩根,根據根與系數的關系列方程組可得b和c的值,把B的坐標代入拋物線的解析式中,再把b和c的值代入可得n的值,表示A、B、C三點的坐標,可求△ABC的面積;
(3)先根據(2)求出方程的兩根,代入已知0<x1+x2<3中,并將m換成關于b的式子,解不等式可得b的取值范圍.
(1)∵拋物線的解析式為:y=x2+bx+c,∴拋物線解析式中二次頂的系數為1,設拋物線的解析式為:y=(x﹣c)2+b,∴(x﹣c)2+b=x2+bx+c,∴.
∵bc≠0,∴,∴拋物線的解析式為:y=x2﹣6x+3;
(2)如圖1.∵點A(m,n),C(m+6,n)在拋物線y=x2+bx+c上,∴m和m+6是方程x2+bx+c=n的兩根,即x2+bx+c﹣n=0,∴,
解得:.
∵B(m+1,n)在拋物線y=x2+bx+c上,∴(m+1)2+b(m+1)+c=n,將b、c代入得:(m+1)2﹣2(m+3)(m+1)+m2+6m+n=n,即n﹣5=n,n=8,∴A(m,8),B(m+1,3),C(m+6,8),∴AC=6.
過B作BG⊥AC于G,則BG=8﹣3=5,∴S△ABC=×6×5=15;
(3)由題意得:x1+x2=﹣b=2m+6①,x1x2=c=m2+6m+8②.
∵bc≠0,∴b≠0,c≠0,∴m≠﹣2或﹣4.
∵x1<x2,由①和②得:.
∵0<x1+x2<3,∴0<3x1+x2<9,0<3(m+2)+m+4<9,0<4m+10<9.
∵b=﹣2m﹣6,∴2m=﹣b﹣6.
∵m≠﹣2或﹣4,∴b≠﹣2或2,∴0<﹣2b﹣12+10<9,∴﹣5.5<b<﹣1且b≠﹣2.
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【題目】如圖,∠ABD和∠BDC的平分線交于E,BE交CD于點F,∠1+∠2=90°.
(1)試說明:AB∥CD;
(2)若∠2=25°,求∠3的度數.
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【題目】閱讀思考,完成下列填空.
問題提出:
如圖,圖①是一張由三個邊長為1的小正方形組成的形紙片.圖②是張的方格紙(的方格紙指邊長分別為的長方形,被分成個邊長為1的小正方形,其中,且為正整數).把圖①放置在圖②中.使它恰好蓋住圖②中的三個小正方形,共有多少種不同的放置方法?
問題探究;
探究一:把圖①放置在的方格紙中,使它恰好蓋住其中的三個小正方形,如圖③,顯然有4種不同的放置方法.
探究二:把圖①放置在的方格紙中,使它恰好蓋住其中的三個小正方形.如圖④,在的方格紙中,共可以找到2個位置不同的方格,依據探究一的結論可知,把圖①放置在的方格紙中.使它恰好蓋住其中的三個小正方形,共有_____種不同的放置方法.
探究三:把圖①放置在的方格紙中,使它恰好蓋住其中的三個小正方形,如圖⑤,在的方格紙中,共可以找到_______個位置不同的方格,依據探究一的結論可知,把圖①放置在的方格紙中,使它恰好蓋住其中的三個小正方形,共有________種不同的放置方法.
探究四:把圖①放置在的方格紙中,使它恰好蓋住其中的三個小正方形,如圖⑥,在的方格紙中,共可以找到_______個位置不同的方格,依據探究一的結論可知,把圖①放置在的方格紙中,使它恰好蓋住其中的三個小正方形共有________種不同的放置方法.
……
問題解決:
把圖①放置在的方格紙中,使它恰好蓋住其中的三個小正方形,共有_________種不同的放置方法.
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【題目】為進一步推廣“陽光體育”大課間活動,某中學對已開設的A實心球,B立定跳遠,C跑步,D跳繩四種活動項目的學生喜歡情況,進行調查,隨機抽取了部分學生,并將調查結果繪制成圖1、圖2的統計圖,請結合圖中的信息解答下列問題:
(1)在這項調查中,共調查了多少名學生?
(2)請計算本項調查中喜歡“跑步”的學生人數和所占百分比,并將兩個統計圖補充完整;
(3)在扇形統計圖,請計算本項調查中喜歡“跑步”部分所對應的圓心角的度數;
(4)如果全校共1200名同學,請你估算喜歡“跑步”的學生人數.
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【題目】甲乙兩地相距8000米.張亮騎自行車從甲地出發(fā)勻速前往乙地,出發(fā)10分鐘后,李偉步行從甲地出發(fā)同路勻速前往乙地.張亮到達乙地后休息片刻,以原來的速度從原路返回.如圖所示是兩人離甲地的距離y(米)與李偉步行時間x(分)之間的函數圖象.
(1)求兩人相遇時李偉離乙地的距離;
(2)請你判斷:當張亮返回到甲地時,李偉是否到達乙地?
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【題目】2017年12月全市組織了計算機等級考試,江南中學九(1)班同學都參加了計算機等級考試,分第一試場、第二試場、第三試場,下面兩幅統計圖反映原來安排九(1)班考生人數,請你根據圖中的信息回答下列問題:
(1)該班參加第三試場考試的人數為_____,并補全頻數分布直方圖;
(2)根據實際情況,需從第一試場調部分學生到第三試場考試,使第一試場的人數與第三試場的人數比為2:3,應從第一試場調多少學生到第三試場?
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【題目】為了解某校九年級男生1000米跑的水平,從中隨機抽取部分男生進行測試,并把測試成績分為D、C、B、A四個等次繪制成如圖所示的不完整的統計圖,請你依圖解答下列問題:
(1)a= ,b= ,c= ;
(2)扇形統計圖中表示C等次的扇形所對的圓心角的度數為 度;
(3)學校決定從A等次的甲、乙、丙、丁四名男生中,隨機選取兩名男生參加全市中學生1000米跑比賽,請用列表法或畫樹狀圖法,求甲、乙兩名男生同時被選中的概率.
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【題目】“歡樂跑中國重慶站”比賽前夕,小剛和小強相約晨練跑步.小剛比小強早1分鐘跑步出門,3分鐘后他們相遇.兩人寒暄2分鐘后,決定進行跑步比賽.比賽時小剛的速度始終是180米/分,小強的速度是220米/分.比賽開始10分鐘后,因霧霾嚴重,小強突感身體不適,于是他按原路以出門時的速度返回,直到他們再次相遇.如圖所示是小剛、小強之間的距離y(千米)與小剛跑步所用時間x(分鐘)之間的函數圖象.問小剛從家出發(fā)到他們再次相遇時,一共用了__分鐘.
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