Question

【題目】如圖，等邊△ABC的邊長為4，點(diǎn)O是△ABC的外心，∠FOG＝120°．繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)∠FOG，分別交線段AB、BC于D、E兩點(diǎn)．連接DE給出下列四個(gè)結(jié)論：①OD＝OE；②S△ODE＝S△BDE；③S四邊形ODBE＝；④△BDE周長的最小值為6．上述結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)是（ ）

A.1B.2C.3D.4

Answer 1

【答案】B

【解析】

連接OB，OC，易證△BOD≌△COE，因?yàn)?/span>OD=OE，將S四邊形ODBE轉(zhuǎn)化為S△BOC，故可得①③正確；利用特殊時(shí)刻：當(dāng)D與B重合時(shí)，E與C重合，此時(shí)S△ODE＞0，而S△BDE=0，故②錯(cuò)誤；因?yàn)?/span>△BOD≌△COE，所以BD=EC，所以當(dāng)DE最小時(shí)，△BDE周長最小，利用勾股定理求出DE，找到DE的最小值即可解決問題．

如圖，連接OB，OC，過點(diǎn)D作DM⊥BC于M．

（1）∵等邊△ABC的邊長為4，點(diǎn)O是△ABC的外心，∠FOG=120°，

∴易證∠BOD=∠COE，OB=OC，∠DBO=∠ECO=30°，

∴△BOD≌△COE，

∴OD=OE，故①正確；

（2）當(dāng)D與B重合時(shí)，E與C重合，

此時(shí)S△ODE＞0，

而S△BDE=0，故②錯(cuò)誤；

（3）∵△BOD≌△COE，

∴S四邊形ODBE=S△ODB+S△BOE

=S△OCE+S△BOE

=S△BOC

=S△ABC

=，故③錯(cuò)誤；

（4）∵△BOD≌△COE，

∴BD=EC，

∴△BDE周長=BD+BE+DE=BC+DE，

∵BC=4，

∴當(dāng)DE最小時(shí)，△BDE周長最小．

設(shè)BD=x，則BM=x，DM=x，EC=BD=x，BE=4﹣x，

∴ME=BE﹣BM=4﹣x，

∴由勾股定理得：DE==，

∴DE的最小值為2，

∴△BDE周長的最小值為6，故④正確；

所以①④正確．

故選：B．